영 대칭화 연산자 (Young symmetrizer)
개요
- 대칭군 <math>S_n</math>이 주어졌을 때, <math>n</math>의 분할에 대한 영 태블로 <math>\lambda</math>에 의해 정의되는 <math>\mathbb{C}S_n</math>의 원소 <math>c_{\lambda}</math>를 영 대칭화 연산자 (Young symmetrizer)라 부른다
- 대칭군의 표현론에서 중요한 역할
- 복소수체 위에서 대칭군의 기약표현 <math>V_{\lambda}</math>에 대하여 <math>V_{\lambda}\cong c_{\lambda}\cdot \mathbb{C}S_n</math>이 성립
- <math>\mathbb{C}S_n</math>에서 다음의 등식이 성립한다
- <math>
c_{\lambda}^2=\frac{n!}{\dim V_{\lambda}}c_{\lambda} </math>
정의
- 다음과 같이 <math>S_n</math>의 두 부분군을 정의
- <math>P_\lambda=\{ g\in S_n : g \text{ preserves each row of } \lambda \}</math>
- <math>Q_\lambda=\{ g\in S_n : g \text{ preserves each column of } \lambda \}.</math>
- <math>\mathbb{C}S_n</math>의 두 원소를 다음과 같이 정의
- <math>a_\lambda=\sum_{g\in P_\lambda} e_g</math>
- <math>b_\lambda=\sum_{g\in Q_\lambda} \operatorname{sgn}(g) e_g</math>
여기서 <math>\operatorname{sgn}(g)</math>는 치환 <math>g\in S_n</math>의 부호
- 영 대칭화 연산자 <math>c_\lambda</math> 는 다음과 같이 정의된다
- <math>c_\lambda := a_\lambda b_\lambda = \sum_{g\in P_\lambda,h\in Q_\lambda} \operatorname{sgn}(h) e_{gh}</math>
예
- 아래에서는 <math>n</math>이 작은 경우의 표준 영 태블로에 대한 영 대칭화 연산자를 나열
<math>n=1</math>
- <math>
\left( \begin{array}{c|c} \lambda & c_{\lambda}\\ \hline \begin{array}{c} 1 \\ \end{array}
& e_{(1)} \\
\end{array} \right) </math>
<math>n=2</math>
- <math>
\left( \begin{array}{c|c} \lambda & c_{\lambda}\\ \hline \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array}
& e_{(1)}+e_{\left(
\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array}
& e_{(1)}-e_{\left(
\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \end{array} \right) </math>
<math>n=3</math>
- <math>
\left( \begin{array}{c|c} \lambda & c_{\lambda}\\ \hline \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array}
& e_{(1)}+e_{\left(
\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \hline
\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & {} \\ \end{array}
& e_{(1)}-e_{\left(
\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right)} \\ \hline
\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & {} \\ \end{array}
& e_{(1)}+e_{\left(
\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \hline
\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}
& e_{(1)}-e_{\left(
\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \end{array} \right) </math>
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
수학용어번역
- symmetrizer - 대한수학회 수학용어집
사전 형태의 자료
메타데이터
위키데이터
- ID : Q8058560
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'young'}, {'LEMMA': 'symmetrizer'}]