오일러 방법
개요
- 미분방정식
\[ \frac{dy}{dx}=f(x,y) \] 의 수치해를 구하는 방법
- 작은 상수 \(h\)를 고정
- \(x_{k+1}=x_{k}+h\)라 두자
- 초기값 \((x_0,y_0)\)가 주어져 있을 때, 다음의 점화식을 이용하여 수치해를 구함
\[ y_{k+1}=y_k+h f(x_k,y_k) \]
오일러 방법의 변형
수정된 오일러 방법
- 초기값 \((x_0,y_0)\)가 주어져 있을 때, 다음의 점화식을 이용하여 수치해를 구함
\[ y_{k+1}=y_k+h f(x_k+h/2,y_k+(h/2)f_k) \] 여기서 \(f_k=f(x_k,y_k)\)
향상된 오일러 방법
- 초기값 \((x_0,y_0)\)가 주어져 있을 때, 다음의 점화식을 이용하여 수치해를 구함
\[ y_{k+1}=y_k+\frac{h}{2}\left( f_k+f(x_k+h,y_k+hf_k) \right) \] 여기서 \(f_k=f(x_k,y_k)\)
예
미분방정식 \(y'=y\)
- \(h=0.05\), \(x_0=0,y_0=1\)
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & \text{Euler} & \text{Modified Euler} & \text{Improved Euler} & e^x \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0.1 & 1.1025 & 1.10513 & 1.10513 & 1.10517 \\ 0.2 & 1.21551 & 1.2213 & 1.2213 & 1.2214 \\ 0.3 & 1.3401 & 1.3497 & 1.3497 & 1.34986 \\ 0.4 & 1.47746 & 1.49159 & 1.49159 & 1.49182 \\ 0.5 & 1.62889 & 1.64839 & 1.64839 & 1.64872 \\ 0.6 & 1.79586 & 1.82168 & 1.82168 & 1.82212 \\ 0.7 & 1.97993 & 2.01319 & 2.01319 & 2.01375 \\ 0.8 & 2.18287 & 2.22483 & 2.22483 & 2.22554 \\ 0.9 & 2.40662 & 2.45871 & 2.45871 & 2.4596 \\ 1. & 2.6533 & 2.71719 & 2.71719 & 2.71828 \\ \end{array} \]
미분방정식 \(y'=-2x y\)
- \(h=0.05\), \(x_0=0,y_0=1\)
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & \text{Euler} & \text{Modified Euler} & \text{Improved Euler} & e^{-x^2} \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0.1 & 0.995 & 0.990037 & 0.990044 & 0.99005 \\ 0.2 & 0.970274 & 0.960742 & 0.960779 & 0.960789 \\ 0.3 & 0.927097 & 0.913833 & 0.91392 & 0.913931 \\ 0.4 & 0.867809 & 0.851987 & 0.852141 & 0.852144 \\ 0.5 & 0.795607 & 0.778591 & 0.778817 & 0.778801 \\ 0.6 & 0.714257 & 0.697427 & 0.697727 & 0.697676 \\ 0.7 & 0.62776 & 0.612361 & 0.612726 & 0.612626 \\ 0.8 & 0.540031 & 0.527036 & 0.527453 & 0.527292 \\ 0.9 & 0.454598 & 0.444636 & 0.445088 & 0.444858 \\ 1. & 0.374384 & 0.367713 & 0.368181 & 0.367879 \\ \end{array} \]
미분방정식 \(y'+y=x\)
- \(h=0.05\), \(x_0=0,y_0=1\)
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & \text{Euler} & \text{Modified Euler} & \text{Improved Euler} & x-1+2e^{-x} \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0.1 & 0.905 & 0.909753 & 0.909753 & 0.909675 \\ 0.2 & 0.829013 & 0.837603 & 0.837603 & 0.837462 \\ 0.3 & 0.770184 & 0.781829 & 0.781829 & 0.781636 \\ 0.4 & 0.726841 & 0.740872 & 0.740872 & 0.74064 \\ 0.5 & 0.697474 & 0.713324 & 0.713324 & 0.713061 \\ 0.6 & 0.68072 & 0.697908 & 0.697908 & 0.697623 \\ 0.7 & 0.67535 & 0.693471 & 0.693471 & 0.693171 \\ 0.8 & 0.680253 & 0.698969 & 0.698969 & 0.698658 \\ 0.9 & 0.694429 & 0.713456 & 0.713456 & 0.713139 \\ 1. & 0.716972 & 0.736077 & 0.736077 & 0.735759 \end{array} \]
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스