외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)

수학노트
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개요

  • <math>\Lambda(V)</math> : alternating algebra, exterior algebra, 그라스만 대수 라는 이름으로 불림
  • 기하학에서 미분형식 을 정의하기 위한 대수적 장치
  • 클리포드 대수 는 외대수의 일반화로 볼 수 있다



텐서 공간

  • V : 유한차원 벡터공간
  • <math>V^{*}</math> : V의 쌍대공간
  • <math>T=V\otimes \cdots \otimes V \cdots \otimes V^{*}\cdots \otimes V^{*}</math> : 텐서공간
  • <math>T</math> 의 원소를 텐서라 부른다
  • <math>V, V^{*}</math> 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다



텐서 대수 tensor algebra

  • <math>T(V)</math>



외대수 exterior algebra

  • 정의 <math>\Lambda(V) := T(V)/I</math>
  • <math>\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)</math>
  • <math>\alpha\in \Lambda^k(V), \beta\in \Lambda^p(V)</math> 에 대하여 <math>\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha</math> 가 성립한다



외대수의 쌍대 공간

  • <math>v_1,\cdots, v_k \in V</math>, <math>f_1,\cdots, f_k \in V^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같은 동형사상 <math>\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}</math>을 정의할 수 있다
<math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math>
  • 따라서 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math>
  • 외대수의 쌍대 공간은 교대 다중선형형식을 통해서도 이해할 수 있다
<math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math> 여기서 <math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합



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  • [{'LOWER': 'exterior'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
  • [{'LOWER': 'grassmann'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
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