교대 다중선형형식

개요

행렬식은 교대 다중선형형식의 예이다
<math>V</math> : <math>\mathbb F</math>에서 정의된 유한 차원 벡터 공간
다음 조건을 만족하는 다중선형형식(multilinear form) <math>f:V^k\to \mathbb F</math>를 교대 다중선형 k-형식(k-alternating form)이라 부른다

<math>

f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k </math>

<math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합
<math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math>

antisymmetrization 연산자

<math>\operatorname{Alt}</math> 연산자
다중선형형식 <math>\omega</math>로부터 교대 다중선형형식 <math>\operatorname{Alt}(\omega)</math>을 얻는 방법

<math>

\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)}) </math>

wedge product

<math>A(V)</math>에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산
<math>A(V)</math>는 대수(algebra) 구조를 갖게됨
두 다중선형형식 <math>\omega, \eta</math>에 대하여, 다중선형형식 <math>\omega\otimes\eta</math>을 다음과 같이 정의하자

<math>

(\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m}) </math>

<math>\omega\in A^k(V),\, \eta\in A^m(V)</math>에 대하여, wedge product를 다음과 같이 정의

<math>

\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta) </math>

따라서

<math>

\begin{align} (\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\ &=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) \end{align} </math>

(p,q)-shuffle 을 이용한 정의

<math>

(\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) </math> 여기서 <math>S(p,q)</math>는 (p,q)-셔플(shuffle)