행렬식

수학노트
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개요

  • 선형대수학과 행렬이론의 주요 개념
  • 유클리드 공간에서의 부피 개념
    • 유클리드 평면의 2차원 벡터 두 개가 만드는 평행사변형의 넓이
    • 유클리드 공간의 3차원 벡터 세 개가 만드는 평행육면체의 부피
  • 교대 다중선형형식의 예


정의

  • n x n 행렬 \(A=(a_{ij})_{1\le i,j \le n}\)에 대하여, 다음과 같이 행렬식을 정의

\[\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i \sigma(i)}\] 여기서 \(S_n\)은 대칭군 (symmetric group)

  • 행렬 $A=(a_{ij})$의 행렬식을 $|a_{i,j}|_{1\le i,j \le n}$ 형태로 표현하기도 함


  • $n=1$ 일 때,

$$ \begin{vmatrix} a_{1,1} \end {vmatrix} =a_{1,1} $$

  • $n=2$일 때,

$$ \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end {vmatrix} =a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1} $$

  • n=3일 때,

$$ \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end {vmatrix} =a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3}-a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2},-a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3}+a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1}+a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2}-a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1} $$

  • n=4일 때,

$$ \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\ a_{4,1} & a_{4,2} & a_{4,3} & a_{4,4} \end {vmatrix} =a_{1,4} a_{2,3} a_{3,2} a_{4,1}-a_{1,3} a_{2,4} a_{3,2} a_{4,1}-a_{1,4} a_{2,2} a_{3,3} a_{4,1}+a_{1,2} a_{2,4} a_{3,3} a_{4,1}+a_{1,3} a_{2,2} a_{3,4} a_{4,1}-a_{1,2} a_{2,3} a_{3,4} a_{4,1}-a_{1,4} a_{2,3} a_{3,1} a_{4,2}+a_{1,3} a_{2,4} a_{3,1} a_{4,2}+a_{1,4} a_{2,1} a_{3,3} a_{4,2}-a_{1,1} a_{2,4} a_{3,3} a_{4,2}-a_{1,3} a_{2,1} a_{3,4} a_{4,2}+a_{1,1} a_{2,3} a_{3,4} a_{4,2}+a_{1,4} a_{2,2} a_{3,1} a_{4,3}-a_{1,2} a_{2,4} a_{3,1} a_{4,3}-a_{1,4} a_{2,1} a_{3,2} a_{4,3}+a_{1,1} a_{2,4} a_{3,2} a_{4,3}+a_{1,2} a_{2,1} a_{3,4} a_{4,3}-a_{1,1} a_{2,2} a_{3,4} a_{4,3}-a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1} a_{4,4}+a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{4,4}+a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2} a_{4,4}-a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2} a_{4,4}-a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3} a_{4,4}+a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3} a_{4,4} $$

 

 

 

역사

 

 

 

메모

  • Háková, Lenka, and Agnieszka Tereszkiewicz. “On Immanant Functions Related to Weyl Groups of $A_n$.” Journal of Mathematical Physics 55, no. 11 (November 2014): 113509. doi:10.1063/1.4901556.
  • http://mathoverflow.net/questions/35988/why-were-matrix-determinants-once-such-a-big-deal
  • 벡터의 스칼라 삼중곱\[\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}\]

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Abeles, Francine F. 2011. “Nineteenth Century Roots of Quasideterminants.” Linear Algebra and Its Applications 435 (5): 1019–1024. doi:10.1016/j.laa.2011.02.010.
  • Krattenthaler, C. 2005. “Advanced Determinant Calculus: A Complement.” Linear Algebra and Its Applications 411: 68–166. doi:10.1016/j.laa.2005.06.042. http://arxiv.org/abs/math/0503507
  • Krattenthaler, C. 1999. “Advanced Determinant Calculus.” Séminaire Lotharingien de Combinatoire 42: Art. B42q, 67 pp. (electronic). http://www.mat.univie.ac.at/~kratt/artikel/detsurv.html
  • Brualdi, Richard A., and Hans Schneider. “Determinantal Identities: Gauss, Schur, Cauchy, Sylvester, Kronecker, Jacobi, Binet, Laplace, Muir, and Cayley.” Linear Algebra and Its Applications 52–53 (July 1983): 769–91. doi:10.1016/0024-3795(83)80049-4.


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