원주율의 BBP 공식

수학노트
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개요

  • 원주율의 값을 16진수로 표현할 때, 각 자리에 어떤 값이 오는지를 구할 수 있게 해주는 공식
  • Spigot 알고리즘의 대표적인 예이다
  • 다음 공식에 의하여 얻어짐

\[\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\tag{1}\]

 

 

공식의 증명

(1)가 다음의 등식과 동치이다 \[\pi=\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{4\sqrt{2}-8x^3-4\sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}\,dx\]

다음을 이용하면 된다 \[ \begin{align} \quad \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{x^{k-1}}{1-x^8}\,dx & = \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\sum_{i=0}^{\infty}x^{k-1+8i}\,dx \\ {} & = \frac{1}{\sqrt{2}^k}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^{i}(8i+k)} \end{align} \] ■

 

 

원주율의 16진법 전개

 


 

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