유한아벨군과 이산 푸리에 변환

수학노트
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개요

  • \(G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)의 경우

\(\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}\)

여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)

 

 

가우스합에의 응용

  • \(a\in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 곱셈에 대한 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함

\(g_a(\chi) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) \zeta^{a t}\)

여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)

  • 성질\[g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)\]\[\chi(n)=\frac{1}{N}\sum_{(a,N)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/N}\]

 

 

이차잉여 캐릭터와 푸리에 변환

\(K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})\)

Jacobi symbol

\(f(n)=(\frac{d_K}{n})\)

Fourier transform

\(\hat{f}(n)=\sum_{k\pmod {d_K}} (\frac{d_K}{k})e^{2\pi i kn/|d_K|}\)

\(f(n)=\hat{f}(n)/\hat{f}(1)\)

 

 


메모

 

 

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