"유한아벨군과 이산 푸리에 변환"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
==개요== | ==개요== | ||
| − | * <math>G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}</math>와 | + | * <math>G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}</math>와 준동형사상 <math>f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>의 경우 |
<math>\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}</math> | <math>\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}</math> | ||
| − | + | 여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/N}</math> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
==가우스합에의 응용== | ==가우스합에의 응용== | ||
| − | * <math>a\in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}</math>와 곱셈에 | + | * <math>a\in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}</math>와 곱셈에 대한 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함 |
<math>g_a(\chi) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) \zeta^{a t}</math> | <math>g_a(\chi) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) \zeta^{a t}</math> | ||
| − | + | 여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/N}</math> | |
* 성질:<math>g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)</math>:<math>\chi(n)=\frac{1}{N}\sum_{(a,N)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/N}</math> | * 성질:<math>g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)</math>:<math>\chi(n)=\frac{1}{N}\sum_{(a,N)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/N}</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==이차잉여 캐릭터와 푸리에 변환== | ==이차잉여 캐릭터와 푸리에 변환== | ||
| 39번째 줄: | 39번째 줄: | ||
<math>f(n)=\hat{f}(n)/\hat{f}(1)</math> | <math>f(n)=\hat{f}(n)/\hat{f}(1)</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==메모== | ==메모== | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
* [[순환군과 유한아벨군의 표현론]] | * [[순환군과 유한아벨군의 표현론]] | ||
2020년 12월 28일 (월) 03:50 기준 최신판
개요
- \(G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)의 경우
\(\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}\)
여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)
가우스합에의 응용
- \(a\in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 곱셈에 대한 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함
\(g_a(\chi) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) \zeta^{a t}\)
여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)
- 성질\[g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)\]\[\chi(n)=\frac{1}{N}\sum_{(a,N)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/N}\]
이차잉여 캐릭터와 푸리에 변환
\(K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})\)
Jacobi symbol
\(f(n)=(\frac{d_K}{n})\)
Fourier transform
\(\hat{f}(n)=\sum_{k\pmod {d_K}} (\frac{d_K}{k})e^{2\pi i kn/|d_K|}\)
\(f(n)=\hat{f}(n)/\hat{f}(1)\)