이차곡선과 회전변환

개요

일반적인 형태의 이차곡선 <math>ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0,(b\neq 0)</math> 이 주어진 경우, 회전변환을 이용하여 <math>xy</math> 항을 없앨 수 있다
대칭행렬의 대각화 로 이해할 수 있다

이차형식 <math>a x^2+b x y+c y^2</math>에 <math>x\to X \cos (\theta )-Y \sin (\theta ),y\to X \sin (\theta )+Y \cos (\theta )</math> 를 대입하면,

이차형식 <math>A X^2+B X Y+C Y^2</math> 를 얻으며, 이 때의 계수는

<math>A=\frac{1}{2} (a \cos (2 \theta )+a+b \sin (2 \theta )-c \cos (2 \theta )+c)</math>

<math>B=-a \sin (2 \theta )+b \cos (2 \theta )+c \sin (2 \theta )</math>

<math>C=\frac{1}{2} (a (-\cos (2 \theta ))+a-b \sin (2 \theta )+c \cos (2 \theta )+c)</math>

이다.

<math>\cot (2 \theta )=\frac{a-c}{b}</math> 이 되도록 하는 <math>\theta</math>를 찾으면, <math>B=0</math>이 된다. (<math>b=0</math> 인 경우는 물론 이러한 작업이 필요하지 않다)

포락선(envelope)과 curve stitching 에서 얻어진 곡선 <math>x^2-2 x y-20 x+y^2-20 y+100=0</math>가 포물선임을 보이려 한다

<math>a=c=1</math> 이므로, <math>\theta</math>에 대한 다음 방정식을 얻는다:<math>\cot (2 \theta )=\frac{a-c}{b}=0</math>
<math>\theta=\pi/4</math> 는 이 방정식의 해이므로, <math>x\to X \cos (\theta )-Y \sin (\theta ),y\to X \sin (\theta )+Y \cos (\theta )</math> 즉:<math>x\to \frac{X}{\sqrt{2}}-\frac{Y}{\sqrt{2}},y\to \frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{2}}</math> 를 이용할 수 있다
<math>10 \sqrt{2} X=Y^2+50</math> 를 얻는다