자코비 세타함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 8월 14일 (금) 08:37 판
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간단한 소개
  • 세타함수의 정의 (spectral decomposition of heat kernel)
    \(\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)\)
    \(\theta_{1}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2}\)
     

 

여러가지 공식들

\(\theta_2^4(q)+\theta_4^4(q)=\theta_3^4(q)\)

\(\theta_3^2(q^2)+\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)\)

\(\theta_3^2(q^2)-\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)\)

 

 

 

세타함수의 Modularity

\(\theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau})\)

\(\tau=iy, y>0\) 으로 쓰면,

\(\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy)\)

 

Triple product 공식

\(\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\)

\(z=1\) 인 경우

\(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right)^2\)

 

 

 

 

세타함수와 singular modulus

\(k=k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2}{\theta_3^2}\)

 

 

 

 

세타함수, AGM iteration, 타원적분

\(\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3(q^2)\)

\(\sqrt{\theta_3^2(q)\theta_4^2(q)}=\theta_4^2(q^2)\)

따라서 \(a_n=\theta_3^2(q^{2^n}),b_n=\theta_4^2(q^{2^n})\) 라 하면, \(a_n, b_n\)은 AGM iteration 을 만족하고 \(\lim_{n\to\infty}a_n=1\)이고, \(1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))\)가 된다.

 

 

(정리)

주어진 \(0<k<1\) 에 대하여, \(k=k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}\)를 만족시키는 \(q\)가 존재한다. 이 때,

\(M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)\) 와 \(K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)가 성립한다.\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)

 

(증명)

\(1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))=\theta_3^{2}(q)M(1,\frac{\theta_4^2(q)}{\theta_3^2(q)})=\theta_3^{2}(q)M(1,k')\)

그러므로, \(M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)\)이다.

한편, 란덴변환에 의해 \(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)가 성립(타원적분과 AGM의 관계 , 란덴변환과 AGM 참조)하므로,  \(K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)도 증명된다. (증명끝)

 

 

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

표준적인 도서 및 추천도서
  • Brief Introduction to Theta Functions
    • BELLMAN, RICHARD
  • Tata Lectures on Theta I,II,III
    • David Mumford
위키링크

 

참고할만한 자료
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