전자기 포텐셜과 맥스웰 방정식

수학노트
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개요

  • 맥스웰 방정식을 포벡터 포텐셜을 이용하여 표현할 수 있다

 

 

기호

 

 

맥스웰 방정식의 표현

  • 자기장에 대한 가우스 법칙 \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)로부터\[\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}\] 을 만족하는 벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}\)가 존재한다
  • 패러데이 법칙으로부터\[\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} - \nabla \phi \]
    가 되는 스칼라 포텐셜 \(\phi\)이 존재한다
  • 포텐셜을 통해, 남은 두 개의  맥스웰 방정식 은 다음과 같이 표현된다\[\nabla^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}\] (전기장에 대한 가우스 법칙)\[\left ( \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J\] (앙페르-패러데이 법칙)

 

 

로렌츠 게이지

  • 로렌츠 게이지 하에서, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 표현된다\[\nabla^2 \mathbf A - \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf J\]\[\nabla^2 \varphi - \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}\]
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_gauge_condition

 

 

포벡터 포텐셜

  • \(A_{\alpha} = \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})\), \(\alpha=0,1,2,3\)

 

 

전자기 텐서(electromagnetic tensor)

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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