전자기 포텐셜과 맥스웰 방정식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 6월 12일 (화) 06:09 판
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개요
  • \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)로부터
    \(\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}\)
  • 스칼라 포텐셜 \(\phi\)
    \(\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} - \nabla \phi \)

 

기호
  • 벡터포텐셜 \(\mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z)\)
  • 전기장 \(\mathbf{E}=(E_x,E_y,E_z)\)
  • 자기장 \(\mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z)\)

 

 

포벡터 포텐셜
  • \(A_{\alpha} = \left(\phi, -\mathbf{A} \right)=(\phi,-A_{x},-A_{y},-A_{z})\), \(\alpha=0,1,2,3\)

 

 

전자기 텐서(electromagnetic tensor)
  • \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)
  • \(F_{01}=\partial_{0} A_{1} - \partial_{1} A_{0}=-\partial_{t} A_{x} -\partial_{x} \phi=E_{x}\)
  • \(F_{12}=\partial_{1} A_{2} - \partial_{2} A_{1}=- \partial_{y} A_{x}-\partial_{x} A_{y} =-B_{z}\)

\(\left( \begin{array}{cccc} 0 & {E_x} & {E_y} & {E_z} \\ -{E_x} & 0 & -{B_z} & {B_y} \\ -{E_y} & {B_z} & 0 & -{B_x} \\ -{E_z} & -{B_y} & {B_x} & 0 \end{array} \right)\)

\(=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{\partial {A_x}}{\partial t}-\frac{\partial \phi }{\partial x} & -\frac{\partial {A_y}}{\partial t}-\frac{\partial \phi }{\partial y} & -\frac{\partial {A_z}}{\partial t}-\frac{\partial \phi }{\partial z} \\ \frac{\partial {A_x}}{\partial t}+\frac{\partial \phi }{\partial x} & 0 & \frac{\partial {A_x}}{\partial y}-\frac{\partial {A_y}}{\partial x} & \frac{\partial {A_x}}{\partial z}-\frac{\partial {A_z}}{\partial x} \\ \frac{\partial {A_y}}{\partial t}+\frac{\partial \phi }{\partial y} & \frac{\partial {A_y}}{\partial x}-\frac{\partial {A_x}}{\partial y} & 0 & \frac{\partial {A_y}}{\partial z}-\frac{\partial {A_z}}{\partial y} \\ \frac{\partial {A_z}}{\partial t}+\frac{\partial \phi }{\partial z} & \frac{\partial {A_z}}{\partial x}-\frac{\partial {A_x}}{\partial z} & \frac{\partial {A_z}}{\partial y}-\frac{\partial {A_y}}{\partial z} & 0 \end{array} \right)\)

 

 

맥스웰 방정식의 표현
  • 포텐셜을 통해, 맥스웰 방정식 은 다음과 같이 표현된다
    \(\nabla^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)
    \(\left ( \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J\)

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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