"중심이항계수가 등장하는 어떤 급수에 대한 문제"의 두 판 사이의 차이

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'''<math>{2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}</math>'''
 
'''<math>{2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}</math>'''
  
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꼴의 이항계수를 말한다. 
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꼴의 [[이항계수와 조합|이항계수]]를 말한다. 
  
 
 
 
 
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Lehmer는 아래의 논문 '''[Lehmer1985]''' 
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Lehmer는 아래에 링크되어 있는 'Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient''''[Lehmer1985]''' 를 통하여 중심이항계수가 등장하는 다양한 급수를 소개한 바 있다. 
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그 중 몇가지는 다음과 같다. 
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}</math>
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}</math>
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<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}</math>
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이들은 [[#]]
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<math>2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math>
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이 글에서 Lehmer는 중심이항계수와 함께 [[원주율(파이,π)]]가 등장하는 다음과 같은 식들을 소개한다. 
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 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1</math>
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3</math>
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{7\pi}{2}+11</math>
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55</math>
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355</math>
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{1787\pi}{2}+2807</math>
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{6} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{16717\pi}{2}+26259</math>
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067</math>
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 일반적으로 <math>k\in\mathbb{N}</math>에 대하여,
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b</math> , (a와 b는 유리수)
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2010년 7월 30일 (금) 23:39 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

중심이항계수(central binomial coefficient)란 

\({2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\)

꼴의 이항계수를 말한다. 

 

잘 알려진 카탈란 수열(Catalan numbers) 의 일반항은

\(c_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}\)

으로 주어지는데, 중심이항계수가 등장함을 볼 수 있다. 

 

 

Lehmer는 아래에 링크되어 있는 'Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient'[Lehmer1985] 를 통하여 중심이항계수가 등장하는 다양한 급수를 소개한 바 있다. 

 

그 중 몇가지는 다음과 같다. 

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\)

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\)

 

이들은 #

\(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)

 

 

이 글에서 Lehmer는 중심이항계수와 함께 원주율(파이,π)가 등장하는 다음과 같은 식들을 소개한다. 

 

 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{7\pi}{2}+11\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{1787\pi}{2}+2807\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{6} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{16717\pi}{2}+26259\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067\)

 

 

 일반적으로 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여,

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b\) , (a와 b는 유리수)

 

 

 

 

 

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355=709.9999698556466359462787\cdots\)

우변의 숫자가 정수에 가까운 것을 어떻게

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m^4*2^m/(binom(2m,m))+from+1+to+infinity

관련항목 : 

 

 

 

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