타원곡선의 L-함수

수학노트
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개요

  • http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt06.htm#intro
  • 하세-베유 (Hasse-Weil) 제타함수라고도 함
  • 타원 곡선 \(E\)가 \(y^2=h(x)\), \(h(x)\)는 최고차항의 계수가 1이고 중근을 갖지 않는 정수계수 3차 다항식, 꼴로 주어졌다고 가정
  • 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, \(L\)-함수 \(L(E,s)\)는 다음과 같이 정의됨

\[L(E,s)=\prod_pL_p(E,s)^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\label{Les}\] 여기서 \[L_p(E,s)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.\]

  • 여기서 \(a_p\)는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수로 \(a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)\) (위의 Hasse-Weil 정리)
  • \(\Re(s)>\frac{3}{2}\)이면, \ref{Les}는 절대수렴한다

함수방정식

  • \(\Lambda(s) = N^{s/2}(2\pi)^{-s}\ \Gamma(s)L(E,s)\)
  • 다음이 성립한다

\[ \Lambda(2-s)=\epsilon \Lambda(s) \] 여기서 \(\epsilon=\pm 1\)

  • \(\Gamma(s)\)가 \(s=0\)에서 단순 극(pole)을 가지므로, \(L(E,s)=0\)이다
  • 따라서

\[ \Lambda(2)=\frac{N}{(2\pi)^2}L(E,2)=\epsilon \Lambda(0)=\epsilon L'(E,0) \]


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