파이 π는 무리수이다

수학노트
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개요

  • 파이가 무리수임의 증명
  • [Huylebrouck2001]참조


증명

관찰

\(\int_0^1 \sin \pi x\,dx = \frac{2}{\pi}\)

\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)

\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)



보조정리 1

다음을 만족시키는 정수 \(a_0,a_1,\cdots,a_{n}\) 이 존재한다. \[\int_0^1x^n \sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}\]

(증명)

\(y_{n}=\int_0^1x^n \sin \pi x\,dx\) 라 두자.

다음 점화식이 성립한다. \[y_{n}=\frac{1}{\pi}-\frac{n(n-1)}{\pi^2}y_{n-2},n\geq 2,y_0=\frac{2}{\pi},y_1=\frac{1}{\pi}.\]

수학적귀납법에 의해 보조정리가 증명된다. ■




정의

르장드르 다항식 의 변형, \(P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]\) 을 정의하자.

예 \begin{array}{l} 1 \\ -2 x+1 \\ 6 x^2-6 x+1 \\ -20 x^3+30 x^2-12 x+1 \\ 70 x^4-140 x^3+90 x^2-20 x+1 \\ -252 x^5+630 x^4-560 x^3+210 x^2-30 x+1 \\ 924 x^6-2772 x^5+3150 x^4-1680 x^3+420 x^2-42 x+1 \\ -3432 x^7+12012 x^6-16632 x^5+11550 x^4-4200 x^3+756 x^2-56 x+1 \end{array}


보조정리 2

\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx.\]

(증명)

부분적분의 활용. ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 의 보조정리4 참조. ■

보조정리 3

다음을 만족시키는 정수 \(a_0,a_1,\cdots,a_{n}\) 이 존재한다 \[\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}\] (증명)

\(P_{n}(x)\)는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, 보조정리 1 에 의하여 증명된다. ■



귀류법을 통한 증명의 마무리

이제 $\pi$는 무리수, 즉 \(\pi=a/b\) 이라고 가정하자.

보조정리 3에 의하여,

\[I_{n}=\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}=\frac{b(a_na^{n}+a_{n-1}ba^{n-1}+\cdots+a_0b^{n})}{a^{n+1}}\]

는 0이 아닌 유리수가 된다. 따라서 \(a^{n+1}I_{n}\) 는 자연수이다.

보조정리 2에 의하여, \[0<|a^{n+1}I_{n}|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\]

구간 \([0,1]\)에서 \(x(1-x)\)의 최대값은 \(1/4\)이므로, \[|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}\frac{\pi^{n}}{4^n}|=|\frac{a}{n!}(\frac{a\pi}{4})^n|\] 이다.

n이 커지면 우변은 0으로 수렴한다.

따라서 \(a^{n+1}I_{n}\) 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■

역사



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