펼쳐진 지수함수
펼쳐진 지수함수(stretched exponential function)는 지수함수를 '펼친' 모양입니다. 다음처럼 쓸 수 있습니다.
\(f(t)=\exp [-(t/\tau)^\beta]\)
여기서 β는 양수인데, 이 값이 1이면 그냥 지수함수이고요, 1보다 작으면 펼쳐진 지수함수입니다.
\(\log f(t)=-(t/\tau)^\beta\)
이므로, log f(t)와 t로 그래프를 그리면 β가 작아질수록 큰 t에서 함수의 모양, 즉 꼬리가 두꺼워진다는 걸 알 수 있습니다. 거듭제곱 함수만큼은 아니지만 지수함수보다는 두꺼운 꼬리를 갖는다고 할 수 있지요. 그런데 이런 함수가 어디서 나오는 걸까요. 예전에 거듭제곱 분포의 원인에 대해 쓴 적이 있는데, 비슷한 질문을 펼쳐진 지수함수에 대해 던지는 겁니다.
위키피디아의 펼쳐진 지수함수 페이지에서는 지수함수의 중첩으로 설명하는 방법을 제시합니다.
\(e^{-t^\beta}=\int_0^\infty du \rho(u)e^{-t/u}\)
이러한 조건을 만족시키는 ρ(u)는 위 링크를 보시기 바랍니다. 중요한 건 그냥 지수함수를 여러 개 모아서 펼쳐진 지수함수를 만들 수 있다는 겁니다. 아무거나 모은다고 되지는 않고 잘 모아야겠죠;;;
무질서한 시스템에서도 펼쳐진 지수함수가 나타나기도 합니다. 예전에도 썼듯이 무질서한 접촉 과정에서 복제율이 깨끗한 임계점일 때 입자 밀도가 펼쳐진 지수함수 꼴로 감소하다 0에 도달하여 흡수상태에 빠집니다. '무질서'에 의해 크기가 서로 다른 덩어리가 여러 개 생기는데, 각 덩어리에서 일어나는 접촉 과정은 지수함수적으로 흡수상태에 빠집니다. 어떤 순간의 시스템 전체의 입자 밀도는 그 순간의 각 덩어리의 입자 밀도에 그 덩어리의 크기를 곱해서 더해준 값에 비례하겠죠. 각 덩어리의 질량을 s라고 하면, 덩어리 질량의 분포는 P(s)로 쓰는데 무질서가 랜덤하게 뿌려져 있으므로 질량이 s일 확률은 대략 아래와 같은 지수함수 꼴입니다. 질량이 s인 덩어리에서 풀림시간(relaxation time) τs는 그 덩어리의 크기와 거듭제곱 관계를 갖는데 이건 '깨끗한 임계점'에서만 그렇습니다.
\(\rho(t)\sim \int ds s P(s) e^{-t/\tau_s},\ P(s)\sim e^{-pL^d},\ \tau_s\sim L^z\)
이러면 세팅은 끝났고요. 이 적분을 풀면
\(\rho(t)\sim \exp[-at^{d/(d+z)}]\)
이 됩니다. a는 적절한 상수이고요. 모양은 펼쳐진 지수함수이고 t의 차수가 1보다 작죠. 각 덩어리에서는 그 덩어리 크기에 의존하는 풀림시간에 따라 단순한 지수함수로 줄어드는데, 덩어리 크기가 서로 다르고 그에 따라 풀림시간도 서로 다른 덩어리들을 중첩해놓으니 펼쳐진 지수함수가 되었습니다.
어떤 덩어리는 빨리 죽어버릴텐데(흡수상태), 다른 덩어리는 좀더 천천히 죽을 거고, 또 다른 덩어리는 더더욱 천천히 줄어들고... 결국 덩어리가 커질수록 늦게 죽고, 그래서 시간이 충분히 지나면 아직 죽지 않은 덩어리들에 의해서만 전체 입자 밀도가 유지되겠죠. 말로만 때우려다 그림 하나 그렸습니다. 세로축만 로그로 보겠다는 건데요, 그냥 지수함수면 파란색 직선입니다. 이놈들을 합치면 빨간색 곡선이 되고 그게 펼쳐진 지수함수 모양이죠. 그런데 아래 그림처럼 직선들이 곡선에 접한다거나 하는 건 아니고요. 직선들의 합이 곡선이 됩니다. 오해할 수 있겠군요.
여기까지 쓰겠습니다. 다음 질문은 지수함수의 중첩 외에 펼쳐진 지수함수를 만들어내는 다른 메커니즘이 있는가?입니다.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q849591
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'stretched'}, {'LOWER': 'exponential'}, {'LEMMA': 'function'}]