펼쳐진 지수함수

펼쳐진 지수함수(stretched exponential function)는 지수함수를 '펼친' 모양입니다. 다음처럼 쓸 수 있습니다.

\(f(t)=\exp [-(t/\tau)^\beta]\)

여기서 β는 양수인데, 이 값이 1이면 그냥 지수함수이고요, 1보다 작으면 펼쳐진 지수함수입니다.

\(\log f(t)=-(t/\tau)^\beta\)

이므로, log f(t)와 t로 그래프를 그리면 β가 작아질수록 큰 t에서 함수의 모양, 즉 꼬리가 두꺼워진다는 걸 알 수 있습니다. 거듭제곱 함수만큼은 아니지만 지수함수보다는 두꺼운 꼬리를 갖는다고 할 수 있지요. 그런데 이런 함수가 어디서 나오는 걸까요. 예전에 거듭제곱 분포의 원인에 대해 쓴 적이 있는데, 비슷한 질문을 펼쳐진 지수함수에 대해 던지는 겁니다.

위키피디아의 펼쳐진 지수함수 페이지에서는 지수함수의 중첩으로 설명하는 방법을 제시합니다.

\(e^{-t^\beta}=\int_0^\infty du \rho(u)e^{-t/u}\)

이러한 조건을 만족시키는 ρ(u)는 위 링크를 보시기 바랍니다. 중요한 건 그냥 지수함수를 여러 개 모아서 펼쳐진 지수함수를 만들 수 있다는 겁니다. 아무거나 모은다고 되지는 않고 잘 모아야겠죠;;;

무질서한 시스템에서도 펼쳐진 지수함수가 나타나기도 합니다. 예전에도 썼듯이 무질서한 접촉 과정에서 복제율이 깨끗한 임계점일 때 입자 밀도가 펼쳐진 지수함수 꼴로 감소하다 0에 도달하여 흡수상태에 빠집니다. '무질서'에 의해 크기가 서로 다른 덩어리가 여러 개 생기는데, 각 덩어리에서 일어나는 접촉 과정은 지수함수적으로 흡수상태에 빠집니다. 어떤 순간의 시스템 전체의 입자 밀도는 그 순간의 각 덩어리의 입자 밀도에 그 덩어리의 크기를 곱해서 더해준 값에 비례하겠죠. 각 덩어리의 질량을 s라고 하면, 덩어리 질량의 분포는 P(s)로 쓰는데 무질서가 랜덤하게 뿌려져 있으므로 질량이 s일 확률은 대략 아래와 같은 지수함수 꼴입니다. 질량이 s인 덩어리에서 풀림시간(relaxation time) τ_s는 그 덩어리의 크기와 거듭제곱 관계를 갖는데 이건 '깨끗한 임계점'에서만 그렇습니다.

\(\rho(t)\sim \int ds s P(s) e^{-t/\tau_s},\ P(s)\sim e^{-pL^d},\ \tau_s\sim L^z\)

이러면 세팅은 끝났고요. 이걸 풀면

\(\rho(t)\sim \exp[-at^{d/(d+z)}]\)

꼴의