펼쳐진 지수함수

펼쳐진 지수함수(stretched exponential function)는 지수함수를 '펼친' 모양입니다. 다음처럼 쓸 수 있습니다.

\(f(t)=\exp [-(t/\tau)^\beta]\)

여기서 β는 양수인데, 이 값이 1이면 그냥 지수함수이고요, 1보다 작으면 펼쳐진 지수함수입니다.

\(\log f(t)=-(t/\tau)^\beta\)

이므로, log f(t)와 t로 그래프를 그리면 β가 작아질수록 큰 t에서 함수의 모양, 즉 꼬리가 두꺼워진다는 걸 알 수 있습니다. 거듭제곱 함수만큼은 아니지만 지수함수보다는 두꺼운 꼬리를 갖는다고 할 수 있지요. 그런데 이런 함수가 어디서 나오는 걸까요. 예전에 거듭제곱 분포의 원인에 대해 쓴 적이 있는데, 비슷한 질문을 펼쳐진 지수함수에 대해 던지는 겁니다.

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