행렬의 대각합 (trace)
정의
- <math>n\times n</math> 행렬 <math>A=(a_{ij})</math> 의 대각성분의 합 <math>\operatorname{tr}(A)</math> 을 행렬의 대각합(trace)이라 한다
- <math>
\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii} </math>
성질
- <math>\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)</math>
- <math>\operatorname{tr}(B^{-1}AB)=\operatorname{tr}(A)</math>
행렬의 곱과 대각합
두 행렬의 곱=
- 두 <math>n\times n</math>행렬 <math>A=(a_{ij})</math>와 <math>B=(b_{ij})</math>에 대하여, <math>AB</math>의 대각합은 다음과 같이 주어진다
- <math>
\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}b_{ji} </math>
- <math>n=2</math>인 경우 <math>\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}</math>
- <math>n=3</math>인 경우 <math>\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{3,1} b_{1,3}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{3,2} b_{2,3}+a_{1,3} b_{3,1}+a_{2,3} b_{3,2}+a_{3,3} b_{3,3}</math>
세 행렬의 곱
- 세 <math>n\times n</math>행렬 <math>A=(a_{ij})</math>, <math>B=(b_{ij})</math>, <math>C=(c_{ij})</math>에 대하여, <math>ABC</math>의 대각합은 다음과 같이 주어진다
- <math>
\operatorname{tr}(ABC)=\sum_{i,j,k=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{ki} </math>
- <math>n=2</math>인 경우
- <math>\operatorname{tr}(ABC)=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{1,1} b_{1,2} c_{2,1}+a_{1,2} b_{2,2} c_{2,1}+a_{2,1} b_{1,2} c_{2,2}+a_{2,2} b_{2,2} c_{2,2}</math>
- <math>n=3</math>인 경우
- <math>
\begin{aligned} \operatorname{tr}(ABC)&=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{1,3} b_{3,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{2,3} b_{3,1} c_{1,2}\\ &+a_{3,1} b_{1,1} c_{1,3}+a_{3,2} b_{2,1} c_{1,3}+a_{3,3} b_{3,1} c_{1,3}+a_{1,1} b_{1,2} c_{2,1}+a_{1,2} b_{2,2} c_{2,1}+a_{1,3} b_{3,2} c_{2,1}\\ &+a_{2,1} b_{1,2} c_{2,2}+a_{2,2} b_{2,2} c_{2,2}+a_{2,3} b_{3,2} c_{2,2}+a_{3,1} b_{1,2} c_{2,3}+a_{3,2} b_{2,2} c_{2,3}+a_{3,3} b_{3,2} c_{2,3}\\ &+a_{1,1} b_{1,3} c_{3,1}+a_{1,2} b_{2,3} c_{3,1}+a_{1,3} b_{3,3} c_{3,1}+a_{2,1} b_{1,3} c_{3,2}+a_{2,2} b_{2,3} c_{3,2}+a_{2,3} b_{3,3} c_{3,2}\\ &+a_{3,1} b_{1,3} c_{3,3}+a_{3,2} b_{2,3} c_{3,3}+a_{3,3} b_{3,3} c_{3,3} \end{aligned} </math>
수학용어번역
- 대각합, trace - 대한수학회 수학용어집
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