"행렬의 대각합 (trace)"의 두 판 사이의 차이

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==정의==
 
==정의==
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* $n\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$ 의 대각성분의 합 $\operatorname{tr}(A)$ 을 행렬의 대각합(trace)이라 한다
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* <math>n\times n</math> 행렬 <math>A=(a_{ij})</math> 의 대각성분의 합 <math>\operatorname{tr}(A)</math> 을 행렬의 대각합(trace)이라 한다
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:<math>
 
\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}
 
\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}
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==성질==
 
==성질==
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* $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$
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* <math>\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)</math>
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* $\operatorname{tr}(B^{-1}AB)=\operatorname{tr}(A)$
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* <math>\operatorname{tr}(B^{-1}AB)=\operatorname{tr}(A)</math>
  
  
 
==행렬의 곱과 대각합==
 
==행렬의 곱과 대각합==
 
===두 행렬의 곱====
 
===두 행렬의 곱====
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* 두 $n\times n$행렬 $A=(a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$에 대하여, $AB$의 대각합은 다음과 같이 주어진다
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* 두 <math>n\times n</math>행렬 <math>A=(a_{ij})</math>와 <math>B=(b_{ij})</math>에 대하여, <math>AB</math>의 대각합은 다음과 같이 주어진다
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:<math>
 
\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}
 
\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}
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* $n=2$인 경우 $\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}$
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* <math>n=2</math>인 경우 <math>\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}</math>
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* $n=3$인 경우 $\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{3,1} b_{1,3}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{3,2} b_{2,3}+a_{1,3} b_{3,1}+a_{2,3} b_{3,2}+a_{3,3} b_{3,3}$
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* <math>n=3</math>인 경우 <math>\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{3,1} b_{1,3}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{3,2} b_{2,3}+a_{1,3} b_{3,1}+a_{2,3} b_{3,2}+a_{3,3} b_{3,3}</math>
 
===세 행렬의 곱===
 
===세 행렬의 곱===
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* 세 $n\times n$행렬 $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$, $C=(c_{ij})$에 대하여, $ABC$의 대각합은 다음과 같이 주어진다
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* 세 <math>n\times n</math>행렬 <math>A=(a_{ij})</math>, <math>B=(b_{ij})</math>, <math>C=(c_{ij})</math>에 대하여, <math>ABC</math>의 대각합은 다음과 같이 주어진다
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:<math>
 
\operatorname{tr}(ABC)=\sum_{i,j,k=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{ki}
 
\operatorname{tr}(ABC)=\sum_{i,j,k=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{ki}
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</math>
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* $n=2$인 경우  
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* <math>n=2</math>인 경우  
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$$\operatorname{tr}(ABC)=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{1,1} b_{1,2} c_{2,1}+a_{1,2} b_{2,2} c_{2,1}+a_{2,1} b_{1,2} c_{2,2}+a_{2,2} b_{2,2} c_{2,2}$$
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:<math>\operatorname{tr}(ABC)=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{1,1} b_{1,2} c_{2,1}+a_{1,2} b_{2,2} c_{2,1}+a_{2,1} b_{1,2} c_{2,2}+a_{2,2} b_{2,2} c_{2,2}</math>
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* $n=3$인 경우  
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* <math>n=3</math>인 경우  
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:<math>
 
\begin{aligned}
 
\begin{aligned}
 
\operatorname{tr}(ABC)&=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{1,3} b_{3,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{2,3} b_{3,1} c_{1,2}\\
 
\operatorname{tr}(ABC)&=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{1,3} b_{3,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{2,3} b_{3,1} c_{1,2}\\
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&+a_{3,1} b_{1,3} c_{3,3}+a_{3,2} b_{2,3} c_{3,3}+a_{3,3} b_{3,3} c_{3,3}
 
&+a_{3,1} b_{1,3} c_{3,3}+a_{3,2} b_{2,3} c_{3,3}+a_{3,3} b_{3,3} c_{3,3}
 
\end{aligned}
 
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==수학용어번역==
 
==수학용어번역==

2020년 11월 12일 (목) 02:18 기준 최신판

정의

  • \(n\times n\) 행렬 \(A=(a_{ij})\) 의 대각성분의 합 \(\operatorname{tr}(A)\) 을 행렬의 대각합(trace)이라 한다

\[ \operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii} \]


성질

  • \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\)
  • \(\operatorname{tr}(B^{-1}AB)=\operatorname{tr}(A)\)


행렬의 곱과 대각합

두 행렬의 곱=

  • 두 \(n\times n\)행렬 \(A=(a_{ij})\)와 \(B=(b_{ij})\)에 대하여, \(AB\)의 대각합은 다음과 같이 주어진다

\[ \operatorname{tr}(AB)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}b_{ji} \]

  • \(n=2\)인 경우 \(\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}\)
  • \(n=3\)인 경우 \(\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{3,1} b_{1,3}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{3,2} b_{2,3}+a_{1,3} b_{3,1}+a_{2,3} b_{3,2}+a_{3,3} b_{3,3}\)

세 행렬의 곱

  • 세 \(n\times n\)행렬 \(A=(a_{ij})\), \(B=(b_{ij})\), \(C=(c_{ij})\)에 대하여, \(ABC\)의 대각합은 다음과 같이 주어진다

\[ \operatorname{tr}(ABC)=\sum_{i,j,k=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{ki} \]

  • \(n=2\)인 경우

\[\operatorname{tr}(ABC)=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{1,1} b_{1,2} c_{2,1}+a_{1,2} b_{2,2} c_{2,1}+a_{2,1} b_{1,2} c_{2,2}+a_{2,2} b_{2,2} c_{2,2}\]

  • \(n=3\)인 경우

\[ \begin{aligned} \operatorname{tr}(ABC)&=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{1,3} b_{3,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{2,3} b_{3,1} c_{1,2}\\ &+a_{3,1} b_{1,1} c_{1,3}+a_{3,2} b_{2,1} c_{1,3}+a_{3,3} b_{3,1} c_{1,3}+a_{1,1} b_{1,2} c_{2,1}+a_{1,2} b_{2,2} c_{2,1}+a_{1,3} b_{3,2} c_{2,1}\\ &+a_{2,1} b_{1,2} c_{2,2}+a_{2,2} b_{2,2} c_{2,2}+a_{2,3} b_{3,2} c_{2,2}+a_{3,1} b_{1,2} c_{2,3}+a_{3,2} b_{2,2} c_{2,3}+a_{3,3} b_{3,2} c_{2,3}\\ &+a_{1,1} b_{1,3} c_{3,1}+a_{1,2} b_{2,3} c_{3,1}+a_{1,3} b_{3,3} c_{3,1}+a_{2,1} b_{1,3} c_{3,2}+a_{2,2} b_{2,3} c_{3,2}+a_{2,3} b_{3,3} c_{3,2}\\ &+a_{3,1} b_{1,3} c_{3,3}+a_{3,2} b_{2,3} c_{3,3}+a_{3,3} b_{3,3} c_{3,3} \end{aligned} \]

수학용어번역

  • 대각합, trace - 대한수학회 수학용어집


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매스매티카 파일 및 계산 리소스

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