"호프 대수(Hopf algebra)"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 28일 (토) 05:50 판

호프 대수(Hopf algebra) = bi-algebra with an antipoe
'군(group)' (군론(group theory) 항목 참조) 개념의 일반화
양자군의 이론에서 중요한 역할
- 양자군(quantum group) = non co-commutative quasi-triangular Hopf algebra

군의 정의를 abstract nonsense를 사용하여 표현하기
a group is a set \(G&bg=ffffff&fg=000000&s=0\) equipped with
- a multiplication map \(\mu: G \times G \to G\)
- an inversion map \(S: G \to G\)
- an identity element \(1:+*+\to+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0\), where \(*&bg=ffffff&fg=000000&s=0\) is a one point set.
- \(\epsilon:+G+\to+*&bg=ffffff&fg=000000&s=0\) (trivial representation, counit)
- \(\Delta:+G+\to+G+\times+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0\), diagonal map: \(g+\mapsto+(g,g)&bg=ffffff&fg=000000&s=0\).
결합법칙
\(\mu \circ (id, \mu) = \mu \circ (\mu,id)\)
역원에 대한 조건 (원소에 그 역원을 곱하면 항등원을 얻는다)
\(\mu \circ (id, S) \circ \Delta = 1 \circ \epsilon = \mu \circ (S,id) \circ \Delta\), i.e., multiplying an element with its inverse yields the unit.
일반적으로 군을 정의할 때 드러나지 않는 \(\epsilon:+G+\to+*&bg=ffffff&fg=000000&s=0\) , \(\Delta:+G+\to+G+\times+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0\)를 도입함으로써, 군을 abstract nonsense 만으로 표현할 수 있게 된다

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 <h5>군(group) revisited</h5>
-* 군의 정의를 abstract
+<h5>review of group</h5>
+* 군의 정의를 abstract nonsense를 사용하여 표현하기
+*  a group is a set <math>G&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math> equipped with<br>
+** a multiplication map <math>\mu: G \times G \to G</math>
+** an inversion map <math>S: G \to G</math>
+** an identity element <math>1:+*+\to+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math>, where <math>*&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math> is a one point set.
+** <math>\epsilon:+G+\to+*&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math>  (trivial representation, counit)
+** <math>\Delta:+G+\to+G+\times+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math>, diagonal map: <math>g+\mapsto+(g,g)&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math>.
+*  결합법칙<br><math>\mu \circ (id, \mu) = \mu \circ (\mu,id)</math><br>
+*  역원에 대한 조건 (원소에 그 역원을 곱하면 항등원을 얻는다)<br><math>\mu \circ (id, S) \circ \Delta = 1 \circ \epsilon = \mu \circ (S,id) \circ \Delta</math>, i.e., multiplying an element with its inverse yields the unit.<br>
+* 일반적으로 군을 정의할 때 드러나지 않는 <math>\epsilon:+G+\to+*&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math> , <math>\Delta:+G+\to+G+\times+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math>를 도입함으로써, 군을 abstract nonsense 만으로 표현할 수 있게 된다