호프 대수(Hopf algebra)

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 28일 (토) 05:55 판
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개요
  • 호프 대수(Hopf algebra) = bi-algebra with an antipoe
  • '군(group)' (군론(group theory) 항목 참조) 개념의 일반화
  • 양자군의 이론에서 중요한 역할
    • 양자군(quantum group) = non co-commutative quasi-triangular Hopf algebra

 

 

군(group) revisited
  • 군의 정의를 abstract nonsense를 사용하여 표현하기
  • a group is a set \(G&bg=ffffff&fg=000000&s=0\) equipped with
    • a multiplication map \(\mu: G \otimes G \to G\)
    • an inversion map \(S: G \to G\)
    • an identity element \(1:+*+\to+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0\), where \(*&bg=ffffff&fg=000000&s=0\) is a one point set.
    • \(\epsilon:+G+\to+*&bg=ffffff&fg=000000&s=0\)  (trivial representation, counit)
    • \(\Delta: G \to G \otimes G\), diagonal map: \(g \mapsto g\otimes g\).
  • 결합법칙
    \(\mu \circ (\mu \otimes \operatorname{id})=\mu \circ (\operatorname{id}\otimes \mu)\)
  • 역원에 대한 조건 (원소에 그 역원을 곱하면 항등원을 얻는다)
    \(\mu \circ (\operatorname{id}\otimes S) \circ \Delta = \mu \circ (S\otimes \operatorname{id}) \circ \Delta=1 \circ \epsilon\), i.e., multiplying an element with its inverse yields the unit.
  • 일반적으로 군을 정의할 때 드러나지 않는 \(\epsilon:+G+\to+*&bg=ffffff&fg=000000&s=0\) , \(\Delta:+G+\to+G+\times+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0\)를 도입함으로써, 군을 abstract nonsense 만으로 표현할 수 있게 된다

 

 

 

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