회전으로 얻어지는 곡면

수학노트
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개요

  • 평면 상의 곡선이 \((f(v), g(v))\) 로 매개화될 때, x축 또는 y축을 기준으로 회전하여 얻어지는 곡면
  • 3차원상에 놓여 있는 매개화된 곡면을 얻는다
  • y축에 대하여 회전하는 경우, 매개화는 \(\mathbf{x}(u,v)=(f(v) \cos (u),f(v) \sin (u),g(v))\) 로 주어진다

 

 

곡선 회전으로 얻어지는 곡면1.png 를 y축에 대하여 회전하여 곡면 회전으로 얻어지는 곡면2.png 를 얻는다

 

 

제1기본형식

  • 곡면의 매개화가 \(\mathbf{x}(u,v)=(f(v) \cos (u),f(v) \sin (u),g(v))\) 로 주어졌다고 하자
  • \(E=f(v)^2\)
  • \(F=0\)
  • \(G=f'(v)^2+g'(v)^2\)

 

 

크리스토펠 기호

\[\begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & 0 \\ \Gamma _{12}^1 & \frac{f'(v)}{f(v)} \\ \Gamma _{21}^1 & \frac{f'(v)}{f(v)} \\ \Gamma _{22}^1 & 0 \\ \Gamma _{11}^2 & -\frac{f(v) f'(v)}{f'(v)^2+g'(v)^2} \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & \frac{f'(v) f''(v)+g'(v) g''(v)}{f'(v)^2+g'(v)^2} \end{array}\]

 

 

리만 곡률 텐서

\[\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & 0 \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & \frac{g'(v) \left(f'(v) g''(v)-f''(v) g'(v)\right)}{f(v) \left(f'(v)^2+g'(v)^2\right)} \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & \frac{g'(v) \left(f''(v) g'(v)-f'(v) g''(v)\right)}{f(v) \left(f'(v)^2+g'(v)^2\right)} \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & \frac{f(v) g'(v) \left(f''(v) g'(v)-f'(v) g''(v)\right)}{\left(f'(v)^2+g'(v)^2\right)^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \frac{f(v) g'(v) \left(f'(v) g''(v)-f''(v) g'(v)\right)}{\left(f'(v)^2+g'(v)^2\right)^2} \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & 0 \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\]

 

 

가우스 곡률

\[K=\frac{g'(v) \left(f'(v) g''(v)-f''(v) g'(v)\right)}{f(v) \left(f'(v)^2+g'(v)^2\right)^2}\]

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

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