힐베르트 부호

수학노트
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개요

  • 힐베르트 부호 또는 힐베르트 norm residue 부호로 불리기도 함
  • local field 위에서의 이차형식을 공부하는데 중요한 도구


정의

  • K : local field
<math>(a,b)=\begin{cases}1,&\mbox{ if }z^2=ax^2+by^2\mbox{ has a non-zero solution }(x,y,z)\in K^3;\\-1,&\mbox{ if not.}\end{cases}</math>


성질

  • 다음을 만족한다
<math>(u^2,v)=1</math>
<math>(u,v)=(v,u)</math>
<math>(u_1u_2,v)=(u_1,v)(u_2,v)</math>
<math>(u,1-u)=1</math>


유리수 체에서의 힐베르트 부호

  • <math>\mathbb{Q}^{\times}/(\mathbb{Q}^{\times})^2</math>의 구조를 알면 쉽게 계산할 수 있다

p에 대한 힐베르트 부호

  • <math>p=\infty</math> 일 때,
<math>(a,b)_{\infty}=

\begin{cases} 1,&\mbox{ if }a>0 \mbox{ or } b>0 \\ -1,& \mbox{ if }a<0 \mbox{ and } b<0 \end{cases} </math>

  • 홀수인 소수 p에 대하여, <math>a = p^{\alpha} u</math> and <math>b = p^{\beta} v</math>이면
<math>(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha</math> 여기서 <math>\epsilon(p) = (p-1)/2</math>
  • <math>p=2</math>일 경우, <math>a = 2^\alpha u</math>, <math>b = 2^\beta v</math>라 두면
<math>(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}</math> 여기서 <math>\omega(x) = (x^2-1)/8</math>.

상호법칙

  • 유한개의 <math>p</math>에 대해서만 <math>(a,b)_p =-1</math> 이 된다
  • 다음이 성립한다
<math>\prod_p (a,b)_p = 1</math>


예

\begin{array}{c|c|c} p & (7,11)_p & (2,5)_p \\ \infty & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & -1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & -1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \\ 31 & 1 & 1 \\ 37 & 1 & 1 \\ 41 & 1 & 1 \\ 43 & 1 & 1 \\ 47 & 1 & 1 \\ \vdots & 1 & 1 \\ \end{array}


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'steinberg'}, {'LEMMA': 'symbol'}]
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