부분합과 급수

수학노트
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개요

부분합 : 수열 에서 새로운 수열 을 로 해서 만들어 낼 수 있다. 이 수열 을 의 <부분합> 이라고 부른다.

즉,  :

  • , 일 때 이므로, 부분합의 일반항을 알면 수열의 일반항을 구할 수 있다.

 

  •  : 등차수열의 부분합
  •  : 등비수열의 부분합

 

  • 에 대한 다항식으로 이루어진 수열의 부분합은 구할 수 있다.
  •  

 

  • 망원급수(telescopic sum) : 교육 과정 외이나 알아 두면 굉장히 도움이 됨. (외우지 말고 꼴을 익혀 주세요)
     

    • 위의 꼴로 수열을 변형시키면 쉽게 부분합을 구할 수 있다.
      • ex)
      • ex)
         

 

 

급수 : 이 무한히 커질 때 부분합 이 어떤 수에 무한히 가까워질 때, 그것을 <급수> 라고 한다. 즉,

  이면 의 급수의 값은 이다.

 

 

등비급수

 

 

 

등비급수의 예

\(\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n\pi}=\frac{1}{1-e^{-\pi}}=\frac{e^{\pi}}{e^{\pi}-1}\)

 

이를 이용하면, 

\(1+2\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n\pi}=\frac{1}{1-e^{-\pi}}=\frac{e^{\pi}+1}{e^{\pi}-1}\)

  • 코탄젠트 함수의 푸리에전개\[f(2\tau):=i \cot \pi\tau= 1+2\sum_{n=1}^{\infty}e^{2\pi i n \tau}\]\[\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \\]\[f(i)=i \cot i\frac{\pi}{2} = \coth \frac{\pi}{2} = \frac{e^{\pi} + 1} {e^{\pi} - 1}\]

 

 

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