라이네스 차분방정식

수학노트
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개요

  • 복소수 $A\in \mathbb{C}$에 대하여, 다음의 점화식을 Lyness 차분방정식이라 부른다

$$ x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}} \tag{1} $$

  • $x_0=\alpha,x_1=\beta$와, 점화식 (1)에 의해 다음과 같은 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$을 얻는다

$$ \alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\cdots, $$

  • $A\in \mathbb{R}_{>0}$일 때, (1)로부터 유계인 수열을 얻는다
  • $A\in \mathbb{R}_{>0}$일 때, (1)은 평면 $\mathbb{R}^2$에 정의된 다음 변환과 관계 있으며, 이 변환의 동역학적 성질은 흥미로운 문제이다

$$ (x,y)\mapsto (y,\frac{A+y}{x}) $$

  • (1)에 의해 유리수열이 얻어질 때, 어떤 경우에 주기 수열을 얻을 수 있는지는 수론적으로 흥미로운 문제이다


불변량

  • 점화식 (1)에 의해 얻어진 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$에 대하여, 다음은 $n\in \mathbb{Z}$에 의존하지 않는 불변량이다

\[C=(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)\]

평면에 정의된 변환

  • $A>0$일 때, $\phi : \mathbb{R}_{>0}^2 \to \mathbb{R}_{>0}^2$를 다음과 같이 정의하자

$$ \phi(x,y):=(y,\frac{A+y}{x}) $$

  • 다음의 함수는 $\phi$에 대한 불변량이다

$$ V(x,y)=\frac{(x + 1) (y + 1) (x + y + A)}{x y} \tag{2} $$

  • (2)는 다음과 같은 등고선을 가지며, 이로부터 수열이 유계임을 확인할 수 있다

Lyness 차분방정식1.png

  • $\phi^{*}\omega=\omega$이 성립한다. 여기서

$$ \omega=\frac{dx\wedge dy}{x y} $$


타원 곡선

  • 점 $(x_0,y_0)$가 곡선 $F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0$에 놓여 있는 경우, $(x_0',y_0')=(y,\frac{A+y}{x})$도 $F(x,y)=0$에 놓여 있다
  • 타원곡선 $F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0$을 통하여, 점화식 (1)을 이해할 수도 있다
  • $x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}$인 경우만을 생각할 때, 점화식 (1)로부터 얻어지는 수열의 (최소)주기가 1,2,3,5,6,7,8,9,10,12가 되도록 하는 적당한 $x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}$를 찾을 수 있으며, 이와 다른 주기 (가령 4와 11)는 얻을 수 없다


특수한 경우

$A=1$

$$ \alpha ,\beta ,\frac{1+\beta }{\alpha },\frac{1+\alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{1+\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots $$

콕세터 프리즈4.png

$A=0$

  • 다음과 같은 주기 6인 수열을 얻는다

$$ \alpha ,\beta ,\frac{\beta }{\alpha },\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta },\frac{\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots $$


메모

 

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관련논문

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