Non-holomorphic modular forms

weight 2 Eisenstein series

\(k=1\)인 경우의 아이젠슈타인급수는 위에서 얻은 푸리에 급수를 이용하여 정의\(G_{2}(\tau) = \zeta(2) \left(1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n} \right)\)
원래의 정의와 비슷하게 쓰려면 절대수렴하지 않는 급수 다음과 같이 덧셈의 순서를 따름\(G_{2}(\tau) = \frac{1}{2}\sum_{n\neq 0} \frac{1}{n^2}+\frac{1}{2}\sum_{m\neq0}\sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{1}{(m\tau+n)^{2}}\)
정규 아이젠슈타인 급수\(E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\)
modularity\(G_{2} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2} G_{2}(\tau)-\pi i c(c\tau+d)\)

\(\tau = x+ iy\), \(y > 0 \)에 대하여 다음과 정의된 함수는 모듈라 성질을 가짐\(G^{*}_{2}(\tau) = G_{2}(\tau)-\frac{\pi}{2y}\)\(E^{*}_{2}(\tau) = E_{2}(\tau)-\frac{3}{\pi y}\)
obtaing modularity losing holomorphicity