Q-가우스 합

개요

• [GR2004] (1.5.1) Heine's q-analogue of Gauss' summation formula

<math>_2\phi_1(a,b;c,q,c/ab)=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}</math> or

<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}</math>

켤레 베일리 쌍

• q-가우스 합을 이용하여, 켤레 베일리 쌍을 찾을 수 있다
• 다음과 같은 켤레 베일리 쌍 (relative to a) <math>\gamma_n,\delta_n</math> 을 찾을 수 있다

<math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math>

<math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math> 여기서 <math>x=aq</math>.

• 특별한 경우 (<math>x=q,y\to\infty, z\to\infty</math>):<math>\delta_n=q^{n^2}</math>:<math>\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}</math>
• 다음과 같은 표현도 쓰인다:<math>\gamma_n=\prod{{x/y,x/z;q}\choose {x,x/yz;}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math>

(증명)

q-가우스 합을 이용하자.

<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}</math>

<math>(a)_{n+r}=(a)_{r}(aq^{r})_{n}</math> 와 <math>(a)_{\infty}=(a)_{r}(aq^{r})_{\infty}</math> 임을 기억하자

<math>a=yq^{r},b=zq^{r},c=xq^{2r}</math>라 두자.

다음 등식을 얻는다.

<math>A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(xq^{r}/y)_{\infty}(xq^{r}/z)_{\infty}}{(xq^{2r})_{\infty}(x/(yz))_{\infty}}=B\label{AB}</math>

좌변은 다음과 같이 쓸 수 있다.

<math>

\begin{align} A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}\\ {}&=\frac{(x)_{2r}}{(y)_{r}(z)_{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}\\ {}&=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n+r} \end{align} </math>

다음과 같이 쓸 수 있다:

<math>A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}</math>

여기서

<math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math>

\ref{AB}의 우변으로부터 다음을 얻는다.

<math>B=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}</math>

그러므로,

<math>A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}=B</math>

여기서 다음을 얻는다.

<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{1}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}\frac{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}{y^{r}z^{r}}</math>

그러므로

<math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math> 와

<math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math> 는 켤레 베일리 쌍이다. ■

• 이 켤레 베일리 쌍과 어떤 베일리 쌍 <math>\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}</math>에 대하여, 베일리 보조 정리를 적용하면:<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\beta_{n}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\alpha_{n}</math> 를 얻는다.

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/

관련도서

• [GR2004] Gasper, George; Rahman, Mizan Basic hypergeometric series 2004