Q-가우스 합

수학노트
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개요

  • [GR2004] (1.5.1) Heine's q-analogue of Gauss' summation formula

\[_2\phi_1(a,b;c,q,c/ab)=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}\] or  \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}\]

 


켤레 베일리 쌍

  • q-가우스 합을 이용하여, 켤레 베일리 쌍을 찾을 수 있다
  • 다음과 같은 켤레 베일리 쌍 (relative to a) $\gamma_n,\delta_n$ 을 찾을 수 있다

\[\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\] \[\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\] 여기서 \(x=aq\).

  • 특별한 경우 (\(x=q,y\to\infty, z\to\infty\))\[\delta_n=q^{n^2}\]\[\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}\]
  • 다음과 같은 표현도 쓰인다\[\gamma_n=\prod{{x/y,x/z;q}\choose {x,x/yz;}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\]

 

(증명)

q-가우스 합을 이용하자. \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}\]

\((a)_{n+r}=(a)_{r}(aq^{r})_{n}\) 와 \((a)_{\infty}=(a)_{r}(aq^{r})_{\infty}\) 임을 기억하자

\(a=yq^{r},b=zq^{r},c=xq^{2r}\)라 두자.

 

다음 등식을 얻는다. \[A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(xq^{r}/y)_{\infty}(xq^{r}/z)_{\infty}}{(xq^{2r})_{\infty}(x/(yz))_{\infty}}=B\tag{1}\]

좌변은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[ \begin{align} A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}\\ {}&=\frac{(x)_{2r}}{(y)_{r}(z)_{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}\\ {}&=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n+r} \end{align} \]

  다음과 같이 쓸 수 있다: \[A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}\] 여기서 \[\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\]

 

(1)의 우변으로부터 다음을 얻는다. \[B=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}\]

 

그러므로, \[A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}=B\]

 

여기서 다음을 얻는다. \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{1}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}\frac{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}{y^{r}z^{r}}\]

 

그러므로 \[\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\]  와  \[\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\] 는 켤레 베일리 쌍이다. ■


  • 이 켤레 베일리 쌍과 어떤 베일리 쌍 \(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\)에 대하여, 베일리 보조 정리를 적용하면\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\beta_{n}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\alpha_{n}\] 를 얻는다.

 

 

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