Q-감마함수

수학노트
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개요

 

 

정의

  • q-감마함수를 다음과 같이 정의

\[\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}\]

  • 자연수 n에 대하여, \(z=n+1\) 일 때,

\[\Gamma_q(n+1)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{n+1};q)_{\infty}}(1-q)^{-n}= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=[n]_q!\]

 

 

정의를 이렇게 하는 이유

  • 감마함수가 팩토리얼의 확장이므로 q-팩토리얼의 정의를 이용하자\[[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}\]
  • q-Pochhammer 기호 를 사용하여 더 일반적인 경우의 n 에 대하여 쓸 수 있다\[[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= \frac{(q;q)_{\infty}}{(1-q)^n(q^{n+1};q)_{\infty}}\]
    캐츠(Kac) 기호 를 써서 표현하면,\[[n]_q!=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q)^n(1-q^{n+1})_q^{\infty}}\]
  • 위의 식은 \(n\)이 반드시 자연수가 아니어도 성립하므로, q-감마함수를 다음과 같이 정의할 수 있다

\[\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}\] \[\Gamma_q(z)= \frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q^{z})_q^{\infty}}(1-q)^{1-z}\] \[\Gamma_q(z) = (1-q)^{1-z}\prod_{n=0}^\infty \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{z+n}}. \]

 

 

잭슨 적분과 q-감마함수

 

 

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

  • Moak, Daniel S. 1984. “The $q$-analogue of Stirling’s formula”. The Rocky Mountain Journal of Mathematics 14 (2): 403–413. doi:10.1216/RMJ-1984-14-2-403.