로그 함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 23일 (토) 18:27 판
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개요
  • 수의 자릿수 개념의 수학적 일반화
  • 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 성질

 

 

초딩도 이해할 수 있는 로그 입문
  • \(a\)의 (상용) 로그 = \(a\)의 자리수 - 1
    100000 의 로그 = 5
    10000000 의 로그 = 7
  • 좋은점은 곱하기를 더하기로 쉽게 할 수 있다는 것
    가령 (100000 * 10000000) 의 로그 = 5 + 7 = 12
    따라서 100000 * 10000000 = 1000000000000 (0이 12개)

 

 

넓이와 로그
  • 반비례곡선 아래의 넓이로 \(x>0\)에 대하여 다음과 같이 정의된 함수를 생각하자
     \(L(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}\)
  • 성질
    \(L(1)=0\)
    \(L(xy)=L(x)+L(y)\)

(증명)

실수 \(a,b,\lambda\)가 양수라고 가정.

치환적분을 사용하면, 다음 등식이 성립한다.

(*)  \(\int_{a}^{b}\frac{dt}{t}=\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t}\)

\(L(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{1}^{y}\frac{dt}{t}\)

마지막 등식에서 (*)를 사용하였다.

따라서 \(L(xy)=L(x)+L(y)\)가 성립  ■

 

 

복소로그함수
  • \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의
    \(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\)
  • 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)이다
  • 복소로그함수가 정의된 리만곡면
    [[Media:|]]

 

 

 

응용
  • 빛의 밝기 lux
  • 소리의 크기 dB
  • 산성알칼리성 pH
  • 별의 밝기
  • 지진의 세기
  • 엔트로피
  • 그랜드피아노
  • 팬플루트
  • 하프 등에서 그래프

 

 

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