연분수와 유리수 근사

무리수 \(\alpha\) 에 대하여,

\(|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\)

는 무한히 많은 p,q 에 의하여 만족된다.

위의 정리에서 \(\sqrt{5}\) 보다 작은 수를 사용해도 정리는 참이지만, \(\sqrt{5}\) 보다 큰 수를 사용할 수는 없다.

즉, 임의의 \(0<h<1\) 에 대하여

\(|\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}|<\frac{h}{\sqrt{5}{q^2}}\)

가 유한한 개수만큼의 해를 갖는다.

(증명)

위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 \(|\theta|<h<1\)에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)

\(\frac{p}{q}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)

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