영 대칭화 연산자 (Young symmetrizer)
개요
- 대칭군 $S_n$이 주어졌을 때, $n$의 분할에 대한 영 태블로 $\lambda$에 의해 정의되는 $\mathbb{C}S_n$의 원소 $c_{\lambda}$를 영 대칭화 연산자 (Young symmetrizer)라 부른다
- 대칭군의 표현론에서 중요한 역할
- 복소수체 위에서 대칭군의 기약표현 $V_{\lambda}$에 대하여 $V_{\lambda}\cong c_{\lambda}\cdot \mathbb{C}S_n$이 성립
- $\mathbb{C}S_n$에서 다음의 등식이 성립한다
$$ c_{\lambda}^2=\frac{n!}{\dim V_{\lambda}}c_{\lambda} $$
정의
- 다음과 같이 $S_n$의 두 부분군을 다음과 같이 정의
\[P_\lambda=\{ g\in S_n : g \text{ preserves each row of } \lambda \}\] \[Q_\lambda=\{ g\in S_n : g \text{ preserves each column of } \lambda \}.\]
- \(\mathbb{C}S_n\)의 두 원소를 다음과 같이 정의
\[a_\lambda=\sum_{g\in P_\lambda} e_g\] \[b_\lambda=\sum_{g\in Q_\lambda} \operatorname{sgn}(g) e_g\] 여기서 \(\operatorname{sgn}(g)\)는 치환 $g\in S_n$의 부호
- 영 대칭화 연산자 $c_\lambda$ 는 다음과 같이 정의된다
\[c_\lambda := a_\lambda b_\lambda = \sum_{g\in P_\lambda,h\in Q_\lambda} \operatorname{\operatorname{sgn}(h)} e_{gh}\]
예
- 아래에서는 $n$이 작은 경우의 표준 영 태블로에 대한 영 대칭화 연산자를 나열
$n=1$
$$ \left( \begin{array}{c|c} \lambda & c_{\lambda}\\ \hline \begin{array}{c} 1 \\ \end{array} & e_{(1)} \\ \end{array} \right) $$
$n=2$
$$ \left( \begin{array}{c|c} \lambda & c_{\lambda}\\ \hline \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} & e_{(1)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} & e_{(1)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \end{array} \right) $$
$n=3$
$$ \left( \begin{array}{c|c} \lambda & c_{\lambda}\\ \hline \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} & e_{(1)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & {} \\ \end{array} & e_{(1)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & {} \\ \end{array} & e_{(1)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} & e_{(1)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \end{array} \right) $$
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
수학용어번역
- symmetrizer - 대한수학회 수학용어집