콕세터 군의 푸앵카레 급수
개요
- 콕세터 군 \(W\)의 푸앵카레 급수
\[ P_{W}(q)=\sum_{w\in W}q^{\ell(w)} \]
- 정리 (Chevalley-Solomon)
유한반사군 \(W\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[ P_{W}(q)=\prod_{i=1}^{k}\begin{bmatrix} d_i \end{bmatrix}_{q}=\prod_{i=1}^{k}\frac{1-q^{d_i}}{1-q} \] 여기서 \(d_i\)는 \(W\)의 기본차수
- 다음이 성립한다
\[ P_{W}(q)=\prod_{\alpha>0}\frac{q^{\operatorname{ht}(\alpha)+1}-1}{q^{\operatorname{ht}(\alpha)}-1} \]
- 정리 (Bott)
유한 바일군 \(W\)에 대하여 \(\tilde{W}\)를 대응되는 아핀 바일군이라 하자. 다음이 성립한다 \[ P_{\tilde{W}}(q)=\frac{1}{(1-q)^k}\prod_{i=1}^{k}\frac{1-q^{d_i}}{1-q^{d_i-1}}=P_{W}(q)\prod_{i=1}^{k}\frac{1}{1-q^{d_i-1}} \]
예
\(A_2\)
- 차수 : 2,3
- \(W\)는 6개의 원소를 가짐 \[1,s_1,s_2,s_1s_2,s_2s_1,s_1s_2s_1\]
- \(P_{W}(q)=1 + 2 q + 2 q^2 + q^3=(1 + q) (1 + q + q^2)\)
- 차수를 이용하여 다음을 얻는다
\[ \prod_{i=1}^{k}\begin{bmatrix} d_i \end{bmatrix}_{q}=\begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}_{q}\begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}_{q}=(1+q)(1+q+q^2) \]
- 루트시스템에 정의되는 height를 이용하여 다음을 얻을 수 있다
\[ \prod_{\alpha>0}\frac{q^{\operatorname{ht}(\alpha)+1}-1}{q^{\operatorname{ht}(\alpha)}-1}=\frac{q^2-1}{q-1}\frac{q^2-1}{q-1}\frac{q^3-1}{q^2-1}=(1 + q) (1 + q + q^2) \]
아핀 \(A_2\)
- 푸앵카레 급수는 다음과 같다
\[P_{\tilde{W}}(q)=\frac{1}{(1-q)^2}\frac{1-q^2}{1-q}\frac{1-q^3}{1-q^2}=\frac{q^2+q+1}{(q-1)^2}=1+3 q + 6 q^2 + 9 q^3 + 12 q^4 + 15 q^5+\cdots\]
- 이는 아래 그림에서 하나의 정삼각형을 반사시켜 얻을 수 있는 정삼각형들의 개수를 세어준다
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbF9YQmxvNjBFYzQ/edit
- Terragni, T. “Data about Hyperbolic Coxeter Systems.” arXiv:1503.08764 [math], March 30, 2015. http://arxiv.org/abs/1503.08764.
메모
- http://mathoverflow.net/questions/28422/does-the-poincare-series-of-a-coxeter-group-always-describe-a-flag-variety?rq=1
- Poincare series of crystallographic Coxeter groups are always Betti numbers of Kac-Moody flag varieties, and that Kumar's book covers this very well
- Richard Kane
- 144p, 219p, 236p
관련도서
- Steinberg, Robert. ‘Endomorphisms of Linear Algebraic Groups’. Memoirs of the American Mathematical Society 0, no. 80 (1968): 0–0. doi:10.1090/memo/0080.
리뷰, 에세이, 강의노트
- Reiner, Victor. Notes on Poincaré series of finite and affine Coxeter groups
관련논문
- Marberg, Eric, and Graham White. “Variations of the Poincar’e Series for Affine Weyl Groups and Q-Analogues of Chebyshev Polynomials.” arXiv:1410.2772 [math], October 10, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.2772.
- Heckman, G. J. ‘The Volume of Hyperbolic Coxeter Polytopes of Even Dimension’. Indagationes Mathematicae 6, no. 2 (26 June 1995): 189–96. doi:10.1016/0019-3577(95)91242-N.
- Macdonald, I. G. 1972. “The Poincaré Series of a Coxeter Group.” Mathematische Annalen 199 (3) (September 1): 161–174. doi:10.1007/BF01431421
- Solomon, Louis. 1966. “The Orders of the Finite Chevalley Groups.” Journal of Algebra 3 (3): 376–93. doi:10.1016/0021-8693(66)90007-X.
- Solomon, Louis. 1963. “Invariants of Finite Reflection Groups.” Nagoya Mathematical Journal 22: 57–64.
- Bott, Raoul. “An Application of the Morse Theory to the Topology of Lie-Groups.” Bulletin de La Société Mathématique de France 84 (1956): 251–81.
- Chevalley, C. “Sur certains groupes simples.” Tohoku Mathematical Journal 7, no. 1–2 (1955): 14–66. doi:10.2748/tmj/1178245104.