"복소수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
76번째 줄: 76번째 줄:
  
 
* <math> e^{i\pi}+1 =0</math>
 
* <math> e^{i\pi}+1 =0</math>
* <math> i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}</math>, and... (실수) [[search?q=%20i%5Ei%20%EB%8A%94%20%EB%AC%B4%EC%97%87%EC%9D%BC%EA%B9%8C%3F&parent id=1957038|i^i 는 무엇일까?]]
+
* <math> i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}</math>, and... (실수) [[ i^i 는 무엇일까?|i^i 는 무엇일까?]]
  
 
 
 
 

2012년 8월 25일 (토) 15:23 판

간단한 요약
  • (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성.
  • 3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다. 그 결과로 실수해가 얻어지는 것을 보고 카르다노는 많이 당황하였다.

 

 

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들
  • (10 - 가 의 복소수 단원을 위해서) 딱히 없음.
  • 삼각함수의 덧셈정리
    • 현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식을 공부하기 위해서 필요

 

 

중요한 개념 및 정리
  • \(i^2=-1\)
  • 복소수를 계수로 가지는 \(n\)차방정식은 \(n\)개의 복소수근(만)을 가진다 : 대수학의 기본 정리.
  • \(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\), \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\)이면

\( z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \big)\). \(\big(r_1, \quad r_2\) 는 실수\(\big)\)

\((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\)

 

  • 복소수는 삼각함수와 지수함수 사이의 교량과도 같다. (지금은 몰라도 좋음)
    • Euler's Formula \[ e^{i \theta}=\cos\theta + i\sin\theta\] (복소수승의 정의(definition))
    • [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|오일러의 공식]] 참조

 

  • 복소평면 : 복소수와 평면 위의 점은 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이)
    • \(|z_1 z_2 | = |z_1 ||z_2 |\), \(arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)\)

 

 

켤레복소수

\(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}\)

\(\{\operatorname{id}, \sigma}\}\)

\(\sigma^2(z)=\bar{\bar{z}}=z\)

(정리)

복소수 \(\alpha+\beta i\) (\(\alpha, \beta\)는 실수)가 실계수방정식 \(f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0\), (\(a_n\neq 0 \)) 의 해이면, 켤레복소수 \(\alpha-\beta i\)도 이 방정식의 해이다.

 

(증명)

\(z=\alpha+\beta i\)라 두자. \(f(z)=a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0 = 0\) 이다.

좌변과 우변에서 각각 켤레복소수를 취하면,

\(\overline{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0} = a_n \bar{z}^n + a_{n-1} \bar{z}^{n-1} + a_{n-2} \bar{z}^{n-2} + \cdots + a_1 \bar{z} + a_0=0\) 을 얻는다.

따라서 \(f(\bar{z})=f(\alpha-\beta i)=0\) 이 된다. (증명끝)

 

 

재미있는 문제

 

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들
  • 이차방정식 \( ax^2 + bx + c =0\)의 근\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\](근의 공식), 특별히 \(b^2 -4ac <0\) 인 경우 두 복소근을 가짐.
  • 하나의 복소수가 실계수 방정식의 근이라면 그 켤레복소수도 역시 근이 됨.
  • 길이가 1인 복소수의 곱셈은 2차원 평면 상에서, 회전변환으로 이해할 수 있음.

\(\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^2 = -\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\) 에서 \( i \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\)

\( \cos \theta + i\sin\theta \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & cos \theta \\ \end{array} \right)\) : 회전변환.

관련있는 다른 과목

 

 

관련된 대학교 수학
  • 복소함수론
    • 고등학교에서 배우는 함수들은 정의역과 공역이 실수집합 또는 실수의 부분집합임.
    • 정의역과 공역을 복소수로 가지는 함수들을 배움.
    • 수학적으로 매우 풍부하고, 아름다운 결과들이 많아 공부할 가치가 많이 있음.
  • 추상대수학
    • 복소수는 체의 구조를 가지고 있음.
    • 1차원은 실수, 2차원은 복소수, 그러면 3차원에는 ?
    • 4차원에는 복소수의 확장이라 할 수 있는 해밀턴의 사원수가 있음.
  • 대수학의 기본정리

 

 

참고할만한 도서 및 자료

 

동영상 강좌