"분수와 순환소수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
32번째 줄: 32번째 줄:
  
 
 
 
 
 +
 +
<h5>관찰</h5>
 +
 +
<math>\frac{1}{7}=0.142857142857\cdots</math> 를 얻는 나누기 과정을 살펴보자.
 +
 +
  
 
 
 
 
 +
 +
여러분이 지금부터 주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다. 
 +
1,3,2,6,4,5, 그리고 1
 +
 
 +
 +
이다. 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 된다. 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.
 +
 +
 
 +
 +
빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5,1가 어떻게 해서 얻어진 것인지를 한번 따져보자. 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견하게 된다.
 +
<math> 10^0 \equiv 1 \text{ mod } 7</math><br><math> 10^1 \equiv 10 \equiv 3 \text{ mod } 7</math><br><math> 10^2 \equiv 30 \equiv 2 \text{ mod } 7</math><br><math> 10^3 \equiv 20 \equiv 6 \text{ mod } 7</math><br><math> 10^4 \equiv 60 \equiv 4 \text{ mod } 7</math><br><math> 10^5 \equiv 40 \equiv 5 \text{ mod } 7</math><br><math> 10^6 \equiv 50 \equiv 1 \text{ mod } 7</math>
 +
 
 +
 +
1,3,2,6,4,5,1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지임을 알 수 있다.
  
 
 
 
 

2009년 4월 5일 (일) 10:27 판

간단한 소개
  • 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다.
  • 생각할 거리가 풍부한 좋은 수학 문제.
  • 수학자 가우스도 소년 시절에 이를 열심히 공부했음.

 

 

0.142857142857...
  • [1]
  • 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571
    142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
  • 142857 X 7 = 999999
  • 142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99

 

 

순환마디의 길이
  • \(1\over n\) 의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
  • n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자.
  • 원소 10의 군  \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 에서의 order가 바로 \(1\over n\) 의 순환마디의 길이가 됨
  • 다시 말하자면, \(10^k \equiv 1 \pmod n\) 를 만족시키는 가장 작은 자연수 \(k\)가 순환 마디의 길이

 

 

관찰

\(\frac{1}{7}=0.142857142857\cdots\) 를 얻는 나누기 과정을 살펴보자.


 

여러분이 지금부터 주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다.  1,3,2,6,4,5, 그리고 1  

이다. 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 된다. 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.

 

빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5,1가 어떻게 해서 얻어진 것인지를 한번 따져보자. 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견하게 된다. \( 10^0 \equiv 1 \text{ mod } 7\)
\( 10^1 \equiv 10 \equiv 3 \text{ mod } 7\)
\( 10^2 \equiv 30 \equiv 2 \text{ mod } 7\)
\( 10^3 \equiv 20 \equiv 6 \text{ mod } 7\)
\( 10^4 \equiv 60 \equiv 4 \text{ mod } 7\)
\( 10^5 \equiv 40 \equiv 5 \text{ mod } 7\)
\( 10^6 \equiv 50 \equiv 1 \text{ mod } 7\)  

1,3,2,6,4,5,1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지임을 알 수 있다.

 

 

 

 

 

 

하위주제들

 

 

 

하위페이지

 

 

재미있는 사실

 

 

관련된 단원

 

 

많이 나오는 질문

 

관련된 고교수학 또는 대학수학
  • 유리수
  • 정수
    • 약수와 배수
  • 합동식, 잉여류, 뿌리근, 이차잉여, 이차형식
  • 초등정수론
    • 오일러-페르마 정리
  • 추상대수학
    • 순환군

 

관련된 다른 주제들

 

 

관련도서 및 추천도서

 

참고할만한 자료

 

 

관련기사

네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)

 

 

블로그

 

이미지 검색

 

동영상
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=분수와_순환소수&oldid=11184"