"양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

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*  noncommutative geometry<br>
 
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* <math>uv=qvu</math><br>
 
* <math>uv=qvu</math><br>
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*  양자 [[5항 관계식 (5-term relation) |5항 관계식 (5-term relation)]]<br><math>(v)_{\infty}(u)_{\infty}=(u)_{\infty}(-vu)_{\infty}(v)_{\infty}</math><br>
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<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 2em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">q-integral (Jackson integral)</h5>
 
<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 2em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">q-integral (Jackson integral)</h5>
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* [[q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)|q-적분]] 참조
  
 
* <math>0<q<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의<br><math>\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )</math><br><math>\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(aq^k )</math><br>
 
* <math>0<q<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의<br><math>\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )</math><br><math>\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(aq^k )</math><br>
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<math>\Psi(z)=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
 
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<math>\Psi(z)=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})</math>
 
  
 
<math>\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t </math>
 
<math>\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t </math>
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<math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math>
 
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<math>\Psi(z)=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
  
 
 
 
 
  
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<math>\Psi(z)=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})</math>
  
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* <math>q=e^{-t}</math> and as the t goes 0 (i.e. as q goes to 1)<br>
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<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{A}{2}n^2+cn}}{(q)_n}\sim\exp(\frac{C}{t})</math>
 
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where C= sum of Rogers dilogarithms
 
  
 
 
 
 
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* In Weyl algebra, the following identity holds<br><math>(v)_{\infty}(u)_{\infty}=(u)_{\infty}(-vu)_{\infty}(v)_{\infty}</math><br>
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* <math>q=e^{-t}</math> and as the t goes 0 (i.e. as q goes to 1)<br>
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* [http://bomber0.springnote.com/pages/5409257 manufacturing matrices from lower ranks]<br>
 
  
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<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{A}{2}n^2+cn}}{(q)_n}\sim\exp(\frac{C}{t})</math>
  
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여기서 C는 [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)|로저스 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm)]] 의 어떤 값에서의 합
  
 
 
 
 
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<h5>관련된 항목들</h5>
 
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* [[q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)|q-적분]]
  
 
 
 
 
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<h5>관련논문</h5>
 
<h5>관련논문</h5>
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* Quantum dilogarithm, [http://wain.mi.ras.ru/indexrus.html Wadim Zudilin], Preprint, Bonn and Moscow (2006)[http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/64430/1/1172-4.pdf ]
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* [http://dx.doi.org/10.1023/A:1007364912784 The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm]<br>
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** R. M. Kashaev, 1996
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* [http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/28/8/014 Remarks on the quantum dilogarithm]<br>
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** V V Bazhanov and N Yu Reshetikhin, 1995 J. Phys. A: Math. Gen. 28 2217
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* '''[Kashaev1995]'''[http://dx.doi.org/10.1142/S0217732395001526 A link invariant from quantum dilogarithm]<br>
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** Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418
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* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394003610 Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol]<br>
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**  R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768<br>
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* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394000447 Quantum Dilogarithm]<br>
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** L.D.<em style="line-height: 2em;">Fadeev</em> and R.M.<em style="line-height: 2em;">Kashaev</em>, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434
  
 
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

2011년 6월 30일 (목) 06:50 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

바일 대수(Weyl algebra)

 

 

 

q-integral (Jackson integral)
  • \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의
    \(\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
    \(\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
  • \(q\to 1\) 이면, \(\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \)

 

 

양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

\(\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t \)

\(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \)

\(\Psi(z)=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

 

\(\Psi(z)=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\)

 

 

 

근사 공식
  • \(q=e^{-t}\) and as the t goes 0 (i.e. as q goes to 1)

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{A}{2}n^2+cn}}{(q)_n}\sim\exp(\frac{C}{t})\)

여기서 C는 로저스 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm) 의 어떤 값에서의 합

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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