"양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">바일 대수(Weyl algebra)</h5>
 
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* noncommutative geometry<br>
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* <math>\mathbb{C}[q,q^{-1}]</math> 위에서 u,v 로 생성되는 대수, <math>uv=qvu</math> 를 만족시킴<br>
* <math>uv=qvu</math><br>
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* 성질<br><math>(u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}</math><br><math>(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}</math><br><math>(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}</math><br>
*  양자 [[5항 관계식 (5-term relation) |5항 관계식 (5-term relation)]]<br><math>(v)_{\infty}(u)_{\infty}=(u)_{\infty}(-vu)_{\infty}(v)_{\infty}</math><br>
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*  양자 [[5항 관계식 (5-term relation) |5항 관계식 (5-term relation)]]<br><math>(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}</math><br>  <br>
  
 
 
 
 
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* [[q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)|q-적분]]
 
* [[q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)|q-적분]]
* [[#]]
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* [[q-감마함수]]
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* [http://dx.doi.org/10.1023/A:1007364912784 The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm]<br>
 
* [http://dx.doi.org/10.1023/A:1007364912784 The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm]<br>
 
** R. M. Kashaev, 1996
 
** R. M. Kashaev, 1996
* [http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/28/8/014 Remarks on the quantum dilogarithm]<br>
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* Bazhanov, V V,  and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. <em>Journal of Physics A: Mathematical and General</em> 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:[http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/28/8/014 10.1088/0305-4470/28/8/014]. [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=48&mx-pid=1338071 MR1338071(96k:81087)]<br>
** V V Bazhanov and N Yu Reshetikhin, 1995 J. Phys. A: Math. Gen. 28 2217 [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=48&mx-pid=1338071 MR1338071(96k:81087)]
 
 
* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732395001526 A link invariant from quantum dilogarithm]<br>
 
* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732395001526 A link invariant from quantum dilogarithm]<br>
 
** Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418
 
** Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418

2011년 6월 30일 (목) 07:38 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

바일 대수(Weyl algebra)
  • \(\mathbb{C}[q,q^{-1}]\) 위에서 u,v 로 생성되는 대수, \(uv=qvu\) 를 만족시킴
  • 성질
    \((u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}\)
    \((v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}\)
    \((v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}\)
  • 양자 5항 관계식 (5-term relation)
    \((v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}\)
     

 

 

 

q-integral (Jackson integral)
  • \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의
    \(\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
    \(\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
  • \(q\to 1\) 이면, \(\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \)

 

 

양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

\(\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t \)

\(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \)

\(\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

\(\Psi(z)=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\)

 

 

근사식

 

\(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때,
\(\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\approx(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\)

 

 

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