"양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
84번째 줄: 84번째 줄:
 
* [http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/64430/1/1172-4.pdf Notes on Construction of the Knot Invariant from Quantum Dilogarithm Function]
 
* [http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/64430/1/1172-4.pdf Notes on Construction of the Knot Invariant from Quantum Dilogarithm Function]
 
* http://ncatlab.org/nlab/show/quantum+dilogarithm
 
* http://ncatlab.org/nlab/show/quantum+dilogarithm
 +
* http://www.birs.ca/events/2010/5-day-workshops/10w5069/videos/watch/201009161744-Keller.mp4
  
 
 
 
 

2011년 7월 28일 (목) 09:47 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 다이로그 함수(dilogarithm) 의 q-analogue
    \(\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\)

 

 

바일 대수(Weyl algebra)
  • \(\mathbb{C}[q,q^{-1}]\) 위에서 u,v 로 생성되는 대수, \(uv=qvu\) 를 만족시킴
  • 성질
    \((u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}\)
    \((v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}\)
    \((v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}\)
  • 양자 5항 관계식 (5-term relation)
    \((v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}\)

 

 

 

q-integral (Jackson integral)
  • \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의
    \(\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
    \(\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
  • \(q\to 1\) 이면, \(\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \)

 

 

양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

\(\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t \)

\(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \)

\(\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\)

 

 

근사식

\(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때,
\(\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\approx(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문과 에세이

 

 

관련논문

 

 

관련도서

 

 

링크
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=양자_다이로그_함수(quantum_dilogarithm)&oldid=14880"