"열방정식"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
이 항목의 스프링노트 원문주소==
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “</h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
* [[열방정식]]<br> | * [[열방정식]]<br> | ||
| 7번째 줄: | 7번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요== |
* 열의 전달을 기술하는 편미분방정식<br><math>\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0</math><br> | * 열의 전달을 기술하는 편미분방정식<br><math>\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0</math><br> | ||
| 21번째 줄: | 21번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">유한한 길이의 막대에서의 경계-초기 조건 문제 : 변수분리를 통한 해 | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">유한한 길이의 막대에서의 경계-초기 조건 문제 : 변수분리를 통한 해== |
* 경계조건 (양 끝점의 온도는 고정)<br><math> t>0</math> 일 때, <math>u(0,t)=u(L,t)</math><br> | * 경계조건 (양 끝점의 온도는 고정)<br><math> t>0</math> 일 때, <math>u(0,t)=u(L,t)</math><br> | ||
| 52번째 줄: | 52번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">자코비세타함수와 heat kernel | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">자코비세타함수와 heat kernel== |
* 유한한 길이의 막대에서의 경계-초기값 문제<br><math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t</math><br><math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy</math><br> | * 유한한 길이의 막대에서의 경계-초기값 문제<br><math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t</math><br><math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy</math><br> | ||
| 65번째 줄: | 65번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">가우시안 Heat kernel | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">가우시안 Heat kernel== |
* 무한한 길이의 막대를 가정 <math>-\infty<x<\infty</math><br> | * 무한한 길이의 막대를 가정 <math>-\infty<x<\infty</math><br> | ||
| 78번째 줄: | 78번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사== |
| 90번째 줄: | 90번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모== |
* 천안함 관련 http://www.cheonan46.go.kr//89<br> | * 천안함 관련 http://www.cheonan46.go.kr//89<br> | ||
| 98번째 줄: | 98번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들== |
* [[정규분포와 그 확률밀도함수]]<br> | * [[정규분포와 그 확률밀도함수]]<br> | ||
| 107번째 줄: | 107번째 줄: | ||
| − | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스 | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== |
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZjdhY2I2NmUtZGE0Yy00NDk1LWE5OWMtODM0OGIwNmFkYmVj&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZjdhY2I2NmUtZGE0Yy00NDk1LWE5OWMtODM0OGIwNmFkYmVj&sort=name&layout=list&num=50 | ||
| 122번째 줄: | 122번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료== |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B4%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/열방정식] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B4%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/열방정식] | ||
| 132번째 줄: | 132번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문== |
* Narasimhan, T. N. (1999), Fourier's heat conduction equation: History, influence, and connections, Rev. Geophys., 37(1), 151–172, [http://dx.doi.org/10.1029/1998RG900006%20 doi:10.1029/1998RG900006] | * Narasimhan, T. N. (1999), Fourier's heat conduction equation: History, influence, and connections, Rev. Geophys., 37(1), 151–172, [http://dx.doi.org/10.1029/1998RG900006%20 doi:10.1029/1998RG900006] | ||
| 143번째 줄: | 143번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서== |
* [http://books.google.com/books?id=JXtJAAAAYAAJ&printsec=frontcover&hl=ko&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Théorie analytique de la chaleur]<br> | * [http://books.google.com/books?id=JXtJAAAAYAAJ&printsec=frontcover&hl=ko&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Théorie analytique de la chaleur]<br> | ||
| 151번째 줄: | 151번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련기사 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련기사== |
* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 12:56 판
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요==
- 열의 전달을 기술하는 편미분방정식
\(\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0\)
- 일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현
\(\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u\)
- 일차원 열방정식
유한한 길이의 막대에서의 경계-초기 조건 문제 : 변수분리를 통한 해==
- 경계조건 (양 끝점의 온도는 고정)
\( t>0\) 일 때, \(u(0,t)=u(L,t)\)
- 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포
\(u(x,0)=f(x)\)
\(u(x,t)=X(x)T(t)\)로 두자.
변수분리를 사용하자.
\(X''(x)=K_{n}X(x)\)
\(T'(t)=\beta K_{n}T(t)\)
여기서 \(K_{n}=-(\frac{2\pi}{L})^2n^2\), \(n=0, \pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots\)
\(X_n(x)=Ae^{ \frac{2\pi i n x}{L}}+Be^{- \frac{2\pi i n x}{L}}\)
\(T_n(t)=e^{\beta K_{n} t}=e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t}\)
따라서 열방정식의 해는 \(u_{n}(x,t)=e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t\) 의 선형결합으로 나타낼 수 있다.
\(u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t\)
여기서
\(\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy\) 는 푸리에 급수
자코비세타함수와 heat kernel==
- 유한한 길이의 막대에서의 경계-초기값 문제
\(u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t\)
\(\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy\)
- \(L=1,\beta=1/2\pi\) 로 두자.
\(u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}\)
\(\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi i ny}\,dy\)
- 위의 두 식을 함께 쓰면,
\(u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}=\int_{0}^{1}(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i ny}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}) f(y)\,dy=\int_{0}^{1}K(x-y,t)f(y)\,dy \)
여기서 \(K(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}\)
heat kernel 로서의 세타함수를 얻는다
- 자코비 세타함수
\(\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)\)
\(\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)\)
가우시안 Heat kernel==
- 무한한 길이의 막대를 가정 \(-\infty<x<\infty\)
- 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포
\(u(x,0)=f(x)\)
- \(N(\mu,\sigma^2)\) 인 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다 (정규분포와 그 확률밀도함수)
\(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\)
- heat kernel
\(K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)\)
- heat kernel 을 이용한 열방정식의 해
\(u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy\)
- 확률론적 이해 \[\beta=1/2\] 인 경우
\(u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=E[f(X_t)]\)
여기서 \(X_t\)는 \(N(x,t)\)를 따르는 확률변수
역사==
메모==
관련된 항목들==
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZjdhY2I2NmUtZGE0Yy00NDk1LWE5OWMtODM0OGIwNmFkYmVj&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
사전 형태의 자료==
관련논문==
- Narasimhan, T. N. (1999), Fourier's heat conduction equation: History, influence, and connections, Rev. Geophys., 37(1), 151–172, doi:10.1029/1998RG900006
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/10.1029/1998RG900006
관련도서==
관련기사==
- 열의 전달을 기술하는 편미분방정식
\(\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0\) - 일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현
\(\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u\) - 일차원 열방정식
- 경계조건 (양 끝점의 온도는 고정)
\( t>0\) 일 때, \(u(0,t)=u(L,t)\) - 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포
\(u(x,0)=f(x)\)
- 유한한 길이의 막대에서의 경계-초기값 문제
\(u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t\)
\(\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy\) - \(L=1,\beta=1/2\pi\) 로 두자.
\(u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}\)
\(\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi i ny}\,dy\) - 위의 두 식을 함께 쓰면,
\(u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}=\int_{0}^{1}(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i ny}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}) f(y)\,dy=\int_{0}^{1}K(x-y,t)f(y)\,dy \)
여기서 \(K(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}\)
heat kernel 로서의 세타함수를 얻는다 - 자코비 세타함수
\(\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)\)
\(\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)\)
- 무한한 길이의 막대를 가정 \(-\infty<x<\infty\)
- 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포
\(u(x,0)=f(x)\) - \(N(\mu,\sigma^2)\) 인 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다 (정규분포와 그 확률밀도함수)
\(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\) - heat kernel
\(K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)\) - heat kernel 을 이용한 열방정식의 해
\(u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy\) - 확률론적 이해 \[\beta=1/2\] 인 경우
\(u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=E[f(X_t)]\)
여기서 \(X_t\)는 \(N(x,t)\)를 따르는 확률변수
- Narasimhan, T. N. (1999), Fourier's heat conduction equation: History, influence, and connections, Rev. Geophys., 37(1), 151–172, doi:10.1029/1998RG900006
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/10.1029/1998RG900006