푸리에 급수

수학노트
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개요

  • 주어진 함수의 삼각함수를 이용한 급수표현
  • 열방정식을 푸는 과정에서 푸리에가 발견


정의

  • <math>2\pi</math>를 주기로 가지는 함수 <math>f</math>
  • 푸리에 계수의 정의:<math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0</math>:<math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1</math>
  • 푸리에 급수:<math>f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]</math>


예1

  • <math>f(x)=x</math>, <math>-\pi < x < \pi</math>:<math>f(x)\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)</math>
  • <math>f(x)=\frac{\pi-x}{2}</math>,<math>0 < x \leq \pi</math>:<math>f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin n x</math>
  • <math>f(x)=x^2</math>, <math>-\pi < x < \pi</math>:<math>f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)</math>



예2

  • 로그감마 함수:<math>\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}\sin 2\pi nx</math>


역사



메모

<math>\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{inx}\, dx</math>

<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{inx}</math>



관련된 항목들



사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'fourier'}, {'LEMMA': 'series'}]
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