"원주율과 적분"의 두 판 사이의 차이

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* [http://hshin.info/311 원의 넓이?] (Ens, New Start, 2011-4-11) 에 대한 코멘트
 
* [http://hshin.info/311 원의 넓이?] (Ens, New Start, 2011-4-11) 에 대한 코멘트
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* 원주율은 대수적함수와 미적분학을 사용하여 삼각함수의 이론 없이 표현할 수 있다 ([[periods]])
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* 원주율은 대수적함수와 미적분학을 사용하여 삼각함수의 이론 없이도 정의할 수 있다 ([[periods]])
 
*  가정들<br>
 
*  가정들<br>
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** 원주율의 기하학적 정의는 잊자.
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** 초등학교에서 배운 원주율의 기하학적 정의는 잊자. (곡선의 길이 개념은 미적분학을 통해 정의된다)
 
** 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자.
 
** 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자.
 
**  대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자.<br>
 
**  대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자.<br>
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<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* http://functions.wolfram.com/
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
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* [[매스매티카 파일 목록]]
  
 
 
 
 

2011년 4월 13일 (수) 04:04 판

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개요
  • 원의 넓이? (Ens, New Start, 2011-4-11) 에 대한 코멘트
  • 원주율은 대수적함수와 미적분학을 사용하여 삼각함수의 이론 없이도 정의할 수 있다 (periods)
  • 가정들
    • 초등학교에서 배운 원주율의 기하학적 정의는 잊자. (곡선의 길이 개념은 미적분학을 통해 정의된다)
    • 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자.
    • 대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자.
      • 다항식의 미분, \(\sqrt{x}\)의 미분, 합성함수의 미분, 미적분학의 기본정리 등

 

 

 

단위원의 둘레의 길이와 적분

원주율을 적분을 통해 표현해보자.

단위원 C의 둘레의 길이를 적분으로 표현하기 위해 원의 방정식 \(x^2+y^2=1\)을 이용하자.  \(y=\sqrt{1-x^2}\)를 이용하면, C의 둘레의 길이의 절반은

\(\frac{1}{2}\int _Cds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\left(\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right)^2} \, dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 로 표현된다.

원주율은 \(\pi =2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 로 정의된다.

 

 

 

단위원의 면적과 적분

단위원의 면적은 \(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx\) 으로 쓸 수 있다. 이 값은 정말로 \(\pi\)가 될까? 이를 삼각함수 없이 증명할 수 있을까?

\(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 를 보이면 된다.

 

(증명)

\(\int \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=x \sqrt{1-x^2}+C\)

\(\int_0^1 \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=0\)

\(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)

따라서 단위원의 면적은 \(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx=\pi\) 가 된다. ■

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모
  • 대수적 함수와 아벨적분
  • 사인/아크사인함수 덧셈정리의 적분표현
    \(\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y\\)
    \(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\)
    \(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx \)

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

관련도서

 

 

링크
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