원주율과 적분

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• 원주율과 적분

 

 

개요

• 원의 넓이? (Ens, New Start, 2011-4-11) 에 대한 코멘트
• 원주율은 대수적함수와 미적분학을 사용하여 삼각함수의 이론 없이도 정의할 수 있다 (periods)
• 가정들
  
  • 초등학교에서 배운 원주율의 기하학적 정의는 잊자. (곡선의 길이 개념은 미적분학을 통해 정의된다)
  • 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자.
  • 대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자.
    
    • 다항식의 미분, \(\sqrt{x}\)의 미분, 합성함수의 미분, 미적분학의 기본정리 등

 

 

 

단위원의 둘레의 길이와 적분

원주율을 적분을 통해 표현해보자.

단위원 C의 둘레의 길이를 적분으로 표현하기 위해 원의 방정식 \(x^2+y^2=1\)을 이용하자.  \(y=\sqrt{1-x^2}\)를 이용하면, C의 둘레의 길이의 절반은

\(\frac{1}{2}\int _Cds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\left(\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right)^2} \, dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 로 표현된다.

원주율은 \(\pi =2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 로 정의된다.

 

 

 

단위원의 면적과 적분

단위원의 면적은 \(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx\) 으로 쓸 수 있다. 이 값은 정말로 \(\pi\)가 될까? 이를 삼각함수 없이 증명할 수 있을까?

\(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 를 보이면 된다.

 

(증명)

\(\frac{d}{dx} \left(2 x \sqrt{1-x^2}\right) = 2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(\int_0^1 \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=0\)

\(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)

따라서 단위원의 면적은 \(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx=\pi\) 가 된다. ■

 

 

 

재미있는 사실

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

• 대수적 함수와 아벨적분
  
• 사인/아크사인함수 덧셈정리의 적분표현
  \(\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y\\)
  \(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\)
  \(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx \)
  

 

관련된 항목들

• 타원적분론 입문
• 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분

 

 

수학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• 원주율과_적분.nb
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

• 매스매티카 파일 목록

 

 

관련논문

• 원의 넓이에 관련된 순환논법과 국소적 조직화, 최영기(Choi Young Gi), 홍갑주(Hong Gap Ju), 학교수학 제8권 제3호, 2006.9
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/