"푸리에 급수"의 두 판 사이의 차이

2012년 8월 26일 (일) 05:15 판

\(2\pi\)를 주기로 가지는 함수 \(f\)
푸리에 계수의 정의
\(a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0\)
\(b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1\)
푸리에 급수
\(f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]\)

\(f(x)=x\), \(-\pi < x < \pi\)
\(f(x)\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)\)
\(f(x)=\frac{\pi-x}{2}\),\(0 < x \leq \pi\)
\(f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin n x\)
\(f(x)=x^2\), \(-\pi < x < \pi\)
\(f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)\)

로바체프스키와 클라우센 함수
\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때,\(Cl_2(\theta)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\sin n\theta\)

로그감마 함수
\(\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}\sin 2\pi nx\)

\(\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{inx}\, dx\)

\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{inx}\)

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 <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
-<math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1</math>
+<math>\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{inx}\, dx</math>
+<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{inx}</math>