"Fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리"의 두 판 사이의 차이
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* Hurwitz Groups and Surfaces (in <em style="">[http://www.msri.org/publications/books/Book35/contents.html The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve])</em><br> | * Hurwitz Groups and Surfaces (in <em style="">[http://www.msri.org/publications/books/Book35/contents.html The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve])</em><br> | ||
** '''A. Murray Macbeath''', 103-113 | ** '''A. Murray Macbeath''', 103-113 | ||
** [http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/macbeath.ps.gz Postscript file compressed with gzip] / [http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/macbeath.pdf PDF file] | ** [http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/macbeath.ps.gz Postscript file compressed with gzip] / [http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/macbeath.pdf PDF file] | ||
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2012년 10월 6일 (토) 12:20 판
지겔의 정리
- \(\Gamma\) : Fuchsian 군
- \(\mathbb H\) : 복소평면의 상반평면(즉 허수부가 0보다 큰 복소수 집합)
(정리) 지겔
fundamental domain \(\mathbb H/\Gamma\)의 면적은 \(\pi \over 21\) 이상이다.
증명
곡률이 -1인 쌍곡평면의 삼각형의 세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어져 있다면, 그 넓이는 \(\Delta = \pi - \alpha- \beta- \gamma\) 로 주어진다.
fundamental domain \(\mathbb H/\Gamma\) 에서 cycle의 수를 v, edge의 수를 e 로 두자.
\(\mathbb H/\Gamma\) 의 면적은 \(A=2e\pi - 2\pi -2\pi \sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}=2\pi(e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i})\) 가 된다.
여기서 \({l_i}\) 는 각 cycle에 대한 isotropic 부분군의 크기임.
\({A \over{2\pi}}=e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}\)
오일러의 정리 \(v-e+1=2-2g\) 로부터 , \(e-1=v+2g-2\)를 위의 식에 대입하면,
\({A \over{2\pi}}=2g-2+\sum_{i=1}^{v}(1-\frac{1}{l_i})\)
fundamental domain의 면적은 양수이므로,
\(-2+\sum_{i=1}^{v}(1-\frac{1}{l_i})>0\)
\({l_i}\geq2\) 이므로, \(v\geq 3\)
\(v=3\) 이면, \(1-\frac{1}{l_1}-\frac{1}{l_2}-\frac{1}{l_3}>0\) 는 \(l_1=2,l_2=3,l_3=7\) 의 경우에 최소값을 갖는다.
따라서, \(g=0,v=3, l_1=2,l_2=3,l_3=7\) 인 경우에
\({A \over{2\pi}}= \frac{1}{42}\) 로 최소값을 얻는다. (증명끝)
메모
\( Area = \pi - \alpha- \beta- \gamma\)
이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,
\(1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})\)
를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.
정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.
그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는
\( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{7}\)
로 주어진다. 이를 (2,3,7) 삼각형이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는
\( Area = \pi - \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{42}\)
한 편 우리가 찾고 있는 것은 automorphisms of Riemann surface이므로 당연히 orientation을 보존하고 따라서 초록색타일과 검은색타일은 서로 섞일수가 없다. 따라서 fundamental domain의 넓이도
\( \frac{\pi}{42}\)
의 두배 이상은 되어야 한다. 즉
\(Area(U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}\)
하위주제들
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 항목들
- 컴팩트 리만곡면의 자기동형군에 대한 Hurwitz 정리
- 모듈라 군(modular group)
- 클라인의 4차곡선
- SO(3) and SU(2) 의 유한부분군
- 쌍곡기하학
- Riemann mapping theorem and the uniformization theorem
관련논문
- Hurwitz Groups and Surfaces (in The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve)
- A. Murray Macbeath, 103-113
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