"2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)"의 두 판 사이의 차이

2012년 9월 8일 (토) 17:32 판

루트 2의 연분수 전개 \[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]
convergents는 다음과 같이 주어진다 \[1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots \]

정수로 이루어진 수열 \(\{a_n\},\{b_n\}\)를 다음과 같이 정의하자 \[(1 + \sqrt{2})^n=a_n+\sqrt{2}b_n, n=0,1,\cdots\]
이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
- \(a_{n+1}=a_n+2 b_n\), \(a_0=1\)
- \(b_{n+1}=a_n+b_n\), \(b_0=0\)
처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
- \(a_n\) 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
- \(b_n\) 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
다음의 성질을 만족한다
- \(a_n/b_n\)는 루트 2로 수렴한다
- \(a_n/b_n\)는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
- \(a_n^2-2 b_n^2=(-1)^{n}\)
- \( \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_n \\ b_{n-1} & b_n \end{vmatrix}=(-1)^n \)
- \(\{a_n\},\{b_n\}\) 는 루카스 수열로 다음을 만족한다
  - \(a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}, a_0=1, a_1=1\)
  - \(b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}, b_0=0, b_1=1\)

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 * 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
 ** <math>a_{n+1}=a_n+2 b_n</math>, <math>a_0=1</math>
-** <math>b_{n+1}=a_n+b_n</math>, <math>b_0=1</math>
+** <math>b_{n+1}=a_n+b_n</math>, <math>b_0=0</math>
 * 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
-** <math>a_n</math> 1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
+** <math>a_n</math> 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
-** <math>b_n</math> 1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,5741
+** <math>b_n</math> 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
 * 다음의 성질을 만족한다
 ** <math>a_n/b_n</math>는 루트 2로 수렴한다
 ** <math>a_n/b_n</math>는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
-** <math>a_n^2-2 b_n^2=(-1)^{n-1}</math>
+** <math>a_n^2-2 b_n^2=(-1)^{n}</math>
 ** <math>
 \begin{vmatrix}
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 </math>
 ** <math>\{a_n\},\{b_n\}</math> 는 [[루카스 수열]]로 다음을 만족한다
-*** <math>a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}, a_0=1, a_1=3</math>
+*** <math>a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}, a_0=1, a_1=1</math>
-*** <math>b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}, b_0=1, b_1=1</math>
+*** <math>b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}, b_0=0, b_1=1</math>
 ==메모==