푸앵카레 상반평면 모델

개요

• 쌍곡기하학의 모델

정의

• \(\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}\)

제1기본형식

• 리만 메트릭
  \(ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\)
  

• \(E=1/y^2\)
• \(F=0\)
• \(G=1/y^2\)

• 면적소
  \(dA=\frac{dx\,dy}{y^2}\)
  
• 두 점 사이의 거리
  \(\rho(z_ 1,z_ 2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_ 1-z_ 2|}{|z_ 1-\overline{z_ 2}|}\)
  

크리스토펠 기호

• 크리스토펠 기호
  \(\begin{array}{ll} \Gamma _ {11}^1 & 0 \\ \Gamma _ {12}^1 & -\frac{1}{y} \\ \Gamma _ {21}^1 & -\frac{1}{y} \\ \Gamma _ {22}^1 & 0 \\ \Gamma _ {11}^2 & \frac{1}{y} \\ \Gamma _ {12}^2 & 0 \\ \Gamma _ {21}^2 & 0 \\ \Gamma _ {22}^2 & -\frac{1}{y} \end{array}\)
  

• isometry 군
  \(\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
  
• 가우스곡률 은 -1 이다
  

라플라시안

• 라플라시안
  \(\Delta f=y^2(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})\)
  

측지선

• 측지선이 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다

$$\left\{ \begin{array}{c} \frac{d^2 x }{dt^2} + \Gamma^{1}_{1 2 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt} +\Gamma^{1}_{2 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt}= 0 \\ \frac{d^2 y }{dt^2} + \Gamma^{2}_{1 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dx }{dt} +\Gamma^{2}_{2 2 }\frac{dy }{dt}\frac{dy }{dt} = 0 \end{array} \right. $$

• 다시 쓰면 다음과 같다

$$ \left\{ \begin{array}{c} \ddot{x}y-2\dot{x}\dot{y}=0 \\ \ddot{y}y+(\dot{x})^2-(\dot{y})^2=0 \end{array} \right. $$

• 미분방정식의 해는 적당한 상수 a,b,c,r 에 대하여 다음과 같이 주어진다
  • $(x(t),y(t))$로 매개화된 실직선에 수직인 반원 $$\left\{ \begin{array}{c} x(t)=a+b\tanh(rt+c) \\ y(t)=b\operatorname{sech}(rt+c) \end{array} \right. $$ \(\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x\) 쌍곡함수)
  • $(x(t),y(t))$로 매개화된 y-축과 평행한 직선 $$\left\{ \begin{array}{c} x(t)=a \\ y(t)=be^{rt+c} \end{array} \right. $$
• http://cktalon.wordpress.com/2010/10/22/geodesics-poincare-half-plane/

리만 텐서

\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_ {111}^1 & 0 \\ R_ {112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {121}^1 & 0 \\ R_ {122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {211}^1 & 0 \\ R_ {212}^1 & -\frac{1}{y^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {221}^1 & \frac{1}{y^2} \\ R_ {222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {111}^2 & 0 \\ R_ {112}^2 & \frac{1}{y^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {121}^2 & -\frac{1}{y^2} \\ R_ {122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {211}^2 & 0 \\ R_ {212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {221}^2 & 0 \\ R_ {222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)

쌍곡삼각형의 넓이

• 삼각형\(D=pq\infty\)의 넓이
  \(x(P)\) 를 점 \(P\)의 \(x\)좌표라 하고, \(x(p)=a\), \(x(q)=b\)라 두자. \[A(D)=\int\int_{D}\frac{dx\,dy}{y^2}=\int_{a}^{b}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dy\,dx}{y^2}=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\int_{\pi-\alpha}^{\beta+\beta'}\,d\theta=\pi-\alpha-\beta-\beta'\]
  \(x=\cos \theta\)로 치환, \(a=\cos (\pi-\alpha)\), \(b=\cos (\beta+\beta')\)을 사용하였음
  
• 삼각형 \(D'=rq\infty\)의 넓이
  위에서 얻은 결과를 적용할 수 있다 \[A(D')=\pi-(\pi-\gamma)-\beta'=\gamma-\beta'\]
  

 

(정리)

세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)인 쌍곡삼각형 \(\Delta\)의 넓이는 \(\pi - \alpha- \beta- \gamma\) 로 주어진다.

 

(증명)

\(A(\Delta)=A(D)-A(D')=\pi-\alpha-\beta-\beta'-(\gamma-\beta')=\pi - \alpha- \beta- \gamma\) ■

 

• 가우스-보네 정리로도 같은 결과를 얻을 수 있으며, 더 일반적인 곡면에 적용가능하다
  

 

 

쌍곡기하학의 삼각형

위의 그림들처럼 그 공간을 똑같이 생긴 삼각형으로 채운 그림은, 지금 나온것만 해도 위상수학, 미분기하학, 군론 등등 많은 수학을 이어주기 때문에, 중요하다. 가령 아래 그림 역시 쌍곡기하학의 그림인데, 모듈라 군(modular group)이라고 하는 수학적으로 매우 중요한 대상을 공부할 때, 반드시 등장한다. 참고로 이 그림에 등장하는 삼각형은 \( (2, 3, \infty)\)이다.

사람들은 유클리드 기하학이 가장 쉬운 기하학이라고 생각을 하지만, 삼각형의 넓이 구하는 일을 생각하면 꼭 그렇지가 않다. 초등학교에 가면 삼각형의 넓이 구하는 방법을 가르쳐주는데, 변의 길이를 적어도 하나는 꼭 알아야 한다. 그런데 쌍곡기하학에서는 변의 길이를 알 필요가 전혀 없다. 각도가 모든 것을 결정한다!!! 삼각형의 세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어져 있다면 그 넓이는 \(\pi - \alpha- \beta- \gamma\) 가 된다.

이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실, \[1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})\]

를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.

정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.

그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는 \[\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\]

로 주어진다. 이를 (2,3,7) 삼각형이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는 \[\pi-\frac{\pi}{7}-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{42}\]

 

 

 

테셀레이션

역사

• 수학사연표

 

 

메모

• http://www.math.sunysb.edu/~malkoun/hyperbolic.pdf

 

 

관련된 항목들

• 로바체프스키와 클라우센 함수
• 삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수
• 케일리 뫼비우스 변환

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOGNiYzY2ODctYThkZC00Mzg1LWI4OGQtMWZiMmUyYmIyMjBi/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_half-plane_model
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=upper-half+plane

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/