완전제곱식 만들기

개요

• 2차 방정식의 근의 공식에서 사용되는 완전제곱식 만들기의 일반화

1변수의 경우

$$ \begin{aligned} \frac{a}{2}x^2+bx+c=& \frac{a}{2}(x^2+\frac{2b}{a}+\frac{b^2}{a^2})-\frac{b^2}{2a}+c\\ {}=& \frac{a}{2}(x+\frac{b}{a})^2+c-\frac{b^2}{2a} \end{aligned} $$

다변수의 경우

• $A$는 역행렬을 갖는 $n\times n$ 대칭 행렬, $\mathbf{b}=(b_i)_{i=1,\cdots,n}$는 n-벡터, $c$는 상수라 하자
• 다음의 식을 완전제곱의 형태로 만들려고 한다

$$ \frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c = \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}b_i x_i+c $$

• 1변수에서의 경우와 유사하게 다음이 성립한다

$$ \frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c =\frac{1}{2}(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})^t A(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})+c-\frac{1}{2}\mathbf{b}^t A^{-1}\mathbf{b} $$

• N차원 가우시안 적분에 응용

관련된 항목들

• 2차 방정식의 근의 공식
• 대칭행렬의 대각화
• 이차곡선과 회전변환