앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)

개요

• 로저스-라마누잔 연분수와 항등식의 일반화
  
• 모듈라 성질을 가지며(모듈라 형식(modular forms) 참조), q-초기하급수(q-hypergeometric series) 형태로 표현 가능
  
• 등각장론에서 c(2, 2k+1) minimal 모형에 의해 주어지는 표현의 캐릭터\[\chi_j(\tau)=q^{h_j-c/24}\prod_{n\neq 0,\pm(j+1)}(1-q^n)^{-1}\]
• 베일리 사슬(Bailey chain), 베일리 격자(Bailey lattice) 의 방법으로 증명할 수 있다

 

 

항등식

• 자연수 \(k\geq 2\) , \(1\leq i \leq k\)에 대하여, 다음이 성립한다\[\sum_{n_1,\cdots,n_{k-1}\geq0}\frac{x^{N_1^2+\cdots+N_{k-1}^2+N_i+\cdots+N_{k-1}}}{(x)_{n_1}...(x)_{n_{k-1}}}=\prod_{r\neq 0,\pm i \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-x^r} \]
  여기서 \(j\leq k-1\)이면 \(N_j=n_j+\cdots+n_{k-1}\) , \(j=k\)이면 \(N_j=0\)
  
• 여러 문헌에서 다음과 같이 표현되기도 한다\[\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_{k-1}\geq0}\frac{q^{n_1^2+\cdots+n_{k-1}^2+n_i+\cdots+n_{k-1}}}{(q)_{n_{1}-n_{2}}\cdots (q)_{n_{k-2}-n_{k-1}}(q)_{n_{k-1}}}=\prod_{n\neq 0,\pm i\pmod {2k+1}}(1-q^n)^{-1}\]
  

 

 

k=2인 경우 : 로저스-라마누잔 항등식

• k=2인 경우, 로저스-라마누잔 연분수와 항등식을 얻는다
  
• i=1인 경우

\[H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\]

• i=2인 경우

\[G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\]

 

 

k=3인 경우

• i=1인 경우

\[\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}+n_1+2n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 1 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}\]

• i=2인 경우

\[\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}+n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 2 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}\]

• i=3인 경우

\[\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 3 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}\]

 

k=4인 경우

• k=4, i=3인 경우 A000726

\[\frac{q^{n_1^2+2 n_2 n_1+2 n_3 n_1+2 n_2^2+3 n_3^2+4 n_2 n_3+n_3}}{(q)_{n_1} (q)_{n_2} (q)_{n_3}}=\prod_{r\neq 0,\pm 3 \pmod {9}}\frac{1}{1-q^r}=1+q+2 q^2+2 q^3+4 q^4+5 q^5+7 q^6+9 q^7+13 q^8+16 q^9+22 q^{10}+O(q^11)\] 

 

얻어지는 이차형식

• $k=2$, \(n_{1}^{2}\)
• $k=3$, \((n_{1}+n_{2})^{2}+n_{2}^{2}\)
• $k=4$, \((n_{1}+n_{2}+n_{3})^{2}+(n_{2}+n_{3})^{2}+n_{3}^{2}\)
• $k=5$, \((n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{3}+n_{4})^{2}+n_{4}^{2}\)
• $k=6$인 경우, 이차형식에 대응되는 행렬은 다음과 같이 주어진다

\[\text{A=}\left( \begin{array}{ccccc} 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 6 & 6 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 8 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \end{array} \right)\]

• 이는 양의 정부호 행렬(positive definite matrix)의 예이다

 

 

역사

• 1961 고든
  
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=ramanujan+gordon+andrews
• 수학사 연표
•  

 

 

 

 

관련된 항목들

• 다이로그 항등식 (dilogarithm identities)
  
• 정다각형의 대각선의 길이
  
• 베일리 격자(Bailey lattice)
• 베일리 사슬(Bailey chain)

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.proofwiki.org/wiki/
• http://mathworld.wolfram.com/Andrews-GordonIdentity.html

 

 

관련논문

• The Rogers–Selberg recursions, the Gordon–Andrews identities and intertwining operators
  
  • Stefano Capparelli, James Lepowsky, Antun Milas, 2004
• Some formulas related to dilogarithms, the zeta function and the Andrews–Gordon identities
  
  • B. Richmond and G. Szekeres, 1981
• A general theory of identities of the Rogers-Ramanujan type
  
  • George E. Andrews, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 80, Number 6 (1974), 1033-1052.
• On the General Rogers-Ramanujan Theorem.
  
  • Andrews, G. E. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1974.
    
• An Analytic Generalization of the Rogers-Ramanujan Identities for Odd Moduli
  
  • George E. Andrews, PNAS October 1, 1974 vol. 71 no. 10 4082-4085
    
• A Combinatorial Generalization of the Rogers-Ramanujan Identities
  
  • Gordon, B. Amer. J. Math. 83, 393-399, 1961.