Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)

 

 

 

q의 의미

• 양자를 뜻하는 quantum의 첫글자
  
• 극한 \(q \to 1\)로 갈 때, 고전적인 경우를 다시 얻게 된다
  
• h를 파라메터로 사용하는 경우(플랑크상수에서 빌려옴), 극한 \(h \to 0\)를 통하여 고전적인 경우를 얻고, \(q=e^h\)를 만족시킨다
  
• 유한체의 원소의 개수를 보통 q로 나타냄
  

 

 

실수의 q-analogue

• 실수 \(\alpha\)에 대하여 다음과 같이 정의\[[\alpha]_q =\frac{1-q^{\alpha}}{1-q} \]
  

• 극한 \(q \to 1\)\[\frac{1-q^{\alpha}}{1-q} \to \alpha\]
  

 

 

q-차분연산자

• 미분에 대응\[D_qf(x)=\frac{f(x)-f(qx)}{x-qx}=\frac{f(x)-f(qx)}{(1-q)x}\]
  

 

 

basic 초기하급수 (q-초기하급수)

• 초기하급수의 q-analogue

\[_{j}\phi_k \left[\begin{matrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_{j} \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix} ; q,z \right]=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a_1;q)_n(a_2;q)_n\cdots (a_{j};q)_n} {(q;q)_n(b_1;q)_n,\cdots (b_k,q)_n} \left((-1)^nq^{n\choose 2}\right)^{1+k-j}z^n\]

• q-초기하급수 또는 basic 초기하급수로 불림
• 오일러의 분할수에 대한 연구에서 다음과 같은 등식이 얻어짐 \[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} =1+\sum_{n=1}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]
  
• 로저스-라마누잔 연분수와 항등식 을 이해하는 틀을 제공
  

 

 

 

q-초기하급수에 대한 오일러공식

• 오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식

\[\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\] \[\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=1+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

• 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)
  

 

 

q-초기하급수의 예

• q-이항정리\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^q_n}{(1-q)^q_n}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-aq^n z}{1-q^n z}, |z|<1\]
  
• 로저스-라마누잔 연분수와 항등식의 중요한 예\[R(z)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}\]\[H(q)=R(q)\]\[G(q)=R(1)\]
  

• \(j=k=0\), \(z=-q^{\frac{1}{2}}\) 인 경우

\[G(q) =1+ \sum_{n=1}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\]

• \(j=k=0\), \(z=-q^{\frac{3}{2}}\) 인 경우\[H(q) =1+\sum_{n=1}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\]
  

 

 

삼중곱 공식

• 자코비 삼중곱(Jacobi triple product)

\[\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\]

 

 

 

 

 

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=Kummel+nome
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

 

관련된 항목들

• 로저스-라마누잔 항등식
  
• 자코비 세타함수
  
• 데데킨트 에타함수
  
• quantized universal enveloping algebra
  

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=basic
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Basic_hypergeometric_series
• http://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog
• http://en.wikipedia.org/wiki/Q-derivative
• http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_calculus

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• George E. AndrewsEuler's "De Partitio Numerorum", Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.
• Koornwinder, Tom H. 1996. “Special functions and q-commuting variables”. q-alg/9608008 (8월 13). http://arxiv.org/abs/q-alg/9608008
• A brief introduction to the world of q , R Askey (in Symmetries and integrability of difference equations), 1996

 

 

관련논문

• Applications of Basic Hypergeometric Functions
  
  • George E. Andrews, SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)
• Rogers-Ramanujan-Slater Type identities
  
  • McLaughlin, 2008
    
• The history of q-calculus and a new method
  
  • T Ernst
• A method for q-calculus
  
  • T Ernst, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 2003
• Elementary derivations of summations and transformation formulas for q-series
  
  • George Gasper Jr, 1996

• Applications of Basic Hypergeometric Functions
  
  • George E. Andrews, SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)

관련도서

• Basic hypergeometric series
  
  • Gasper, George; Rahman, Mizan (2004)
• Quantum calculus
  
  • Victor Kac, Pokman Cheung, Universitext, Springer-Verlag, 2002
• q-series: their development and application in analysis, number theory, combinatorics, physics, and computer algebra
  
  • George E. Andrews, AMS Bookstore, 1986
• A=B
  
  • Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, AK Peters, Ltd, 1996-1
  • http://www.math.upenn.edu/~wilf/AeqB.html