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* '''수열 <math>\{a_n\}</math>이 주어진 경우,''''''다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)'''<br>''''''''''''<math>G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots</math>''''''''''''<br>
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* 수열 <math>\{a_n\}</math>이 주어진 경우, 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)
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* [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]:<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math><br>
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* [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]:<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math>
 
* 분할수를 [[데데킨트 에타함수]]의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다
 
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==자코비 세타함수의 경우==
 
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* 주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다
 
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*  가령 [[자코비의 네 제곱수 정리]]의 경우:<math>\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n</math><br>
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*  가령 [[자코비의 네 제곱수 정리]]의 경우:<math>\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n</math>
  
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==확률론과 생성함수==
 
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==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
 
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* [[수열]] (고등학교)
 
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* [[피보나치 수열의 여러가지 성질]]
 
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==수학용어번역==
 
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function
 
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*  http://www.wolframalpha.com/input/?i=<br>
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
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==관련도서==
 
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*  Lectures on Generating Functions (Student Mathematical Library, V. 23)<br>
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*  Lectures on Generating Functions (Student Mathematical Library, V. 23)
 
** Sergei K. Lando
 
** Sergei K. Lando
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* [http://www.amazon.com/Generatingfunctionology-Herbert-S-Wilf/dp/0127519564 generatingfunctionology]<br>
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* [http://www.amazon.com/Generatingfunctionology-Herbert-S-Wilf/dp/0127519564 generatingfunctionology]
 
** Herbert S. Wilf,
 
** Herbert S. Wilf,
 
** PDF 파일 다운받기 : [http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/DownldGF.html http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html]
 
** PDF 파일 다운받기 : [http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/DownldGF.html http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html]
  
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==관련논문과 에세이==
 
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* [http://www.jstor.org/stable/3027258 An Interesting Use of Generating Functions]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/3027258 An Interesting Use of Generating Functions]
 
** Aron Pinker, <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 6, No. 4 (Dec., 1975), pp. 39-45
 
** Aron Pinker, <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 6, No. 4 (Dec., 1975), pp. 39-45
  
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블로그
 
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/09/30/452 고교 수학의 명장면 (2)]<br>
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/09/30/452 고교 수학의 명장면 (2)]
 
** 피타고라스의 창, 2008-9-30
 
** 피타고라스의 창, 2008-9-30
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/26/696 derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수]<br>
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/26/696 derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수]
 
** 피타고라스의 창, 2008-7-26
 
** 피타고라스의 창, 2008-7-26
  
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*  구글 블로그 검색<br>
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[[분류:수열]]
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** [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EC%83%9D%EC%84%B1%ED%95%A8%EC%88%98 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=생성함수]
 
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[[분류:조합수학]]
 
[[분류:조합수학]]

2013년 10월 3일 (목) 14:48 판

개요

  • 생성함수(generating function)
  • 수열\(\{a_n\}\)에 대한 정보를 담는 멱급수
  • 다양한 종류의 생성함수가 있으며 수열의 성질에 따라 적합한 종류의 생성함수를 이용한다
  • 해석적정수론의 중요한 아이디어
  • 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
  • L-함수, 제타함수와 디리클레 급수로 생성함수의 일종으로 이해할 수 있음
  • 확률론에서 확률변수를 다루는데 유용한 도구


생성함수

  • 수열 \(\{a_n\}\)이 주어진 경우, 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)

\[G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots\]


지수생성함수

  • 수열 \(\{a_n\}\)이 주어진 경우, 다음과 같은 멱급수함수를 지수생성함수라 한다

\[EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!}x^n\]

  • 베르누이 수의 생성함수\[\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}t^n=\frac{t e^{t}}{e^t-1}\]
  • derangement의 생성함수\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}\]



디리클레급수



자코비 세타함수의 경우

  • 자코비 세타함수\[\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}\]
  • 주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다
  • 가령 자코비의 네 제곱수 정리의 경우\[\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\]



확률론과 생성함수

  • probability generating function
  • moment generating function
  • characteristic function



관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들



관련된 항목들



사전 형태의 자료


관련도서



관련논문과 에세이


블로그

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